コンマ圏

圏論においてコンマ圏（こんまけん、）とは、圏の構成法の一つを言う。特定の構成はスライス圏（slice category）とも呼ばれる。コンマ圏という名称は1963年にウィリアム・ローヴェアが句読点コンマにちなんで使用した表記に由来する演算子としての「コンマ」の使用は混乱を招く可能性があるため、標準表記が変更されても名称はそのままとなっている。ローヴェア自身も「コンマ圏」という用語を適切だとは考えていないという。Lawvere(1963) p.13。

普遍性、極限、余極限を含む幾つかの概念は、コンマ圏として扱うことができる。

 定義 
圏を C, D, E、関手を S : D → C, T : E → C とする。
 下方の対象からなる圏 
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圏 C の対象を b とする。b の下方の対象からなる圏（the category of objects under b）とは、b をドメインとする射 f : b → c を対象、コドメイン間の射 h : c → c' を射とする圏である。

形式的には、b の下方対象からなる圏 (b↓C) とは、b をドメインとする射 f : b → c とそのコドメイン c との組 <f,c> を対象、射 h : <f,c> → <f',c'> は C の射 h : c → c' で h・f = f' を満たすものからなる圏であるCWM(1997) pp.45-46。

 上方の対象からなる圏 
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圏 C の対象を a とする。a の上方の対象からなる圏（the category of objects over a）とは、a をコドメインとする射 g : d → a を対象、ドメイン間の射 k : d' → d を射とする圏である。

同じく形式的には、a の上方対象からなる圏 (C↓a) とは、a をコドメインとする射 g : d → a とそのドメイン d との組 <d,g> を対象、射 k : <d,g> → <d',g'> は C の射 k : d' → d で g・k = g' を満たすものからなる圏である。スライス圏（slice category）とも呼ばれ、(C↓a) の代わりに C/a と表記されるSheaves(1992) p.12。

 関手の下方の対象からなる圏 
圏 C の対象を b とする。b の S-下方の対象からなる圏（the category of objects S-under b；(b↓S) ）とは、b をドメインとする射 f : b → S d とそのコドメインの元となる対象 d との組 <f,d> を対象、コドメインの元となる対象間の射 h : d → d' で f' = S h・f を満たすものを射 h : <f,d> → <f',d'> とする圏である。

 関手の上方の対象からなる圏 
圏 C の対象を a とする。a の T-上方の対象からなる圏（the category of objects T-over a；(T↓a) ）とは、a をコドメインとする射 g : T e → a とそのドメインの元となる対象 e との組 <e,g> を対象、ドメインの元となる対象間の射 k : e → e' で g = g'・T k を満たすものを射 k : <e,g> → <e',g'> とする圏である。

 一般形：コンマ圏 
コンマ圏（the comma category；(T↓S) ）とは、圏 C の射 f : T e → S d とドメイン・コドメインの元の圏の対象 e ∈ ObjE, d ∈ ObjD との三組 <e,d,f> を対象、圏 E の射 k : e → e' と圏 D の射 h : d → d' で f'・T k = S h・f を満たすものの組 <k,h> : <e,d,f> → <e',d',f'> を射とする圏である。なお、射の合成 <k',h'>・<k,h> は <k'・k,h'・h> で定義される。

 脚注 

 関連項目 
 普遍性

 参考文献 




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