写像12相

組合せ論において、写像12相（しゃぞうじゅうにそう、）とは、有限集合の間の写像の数え上げ問題を、12種に、体系的に分類したものである。

順列、組合せ、多重集合、集合の分割、自然数の分割の数を求める古典的な数え上げ問題を含む。

12種類に分類するというアイデアは、数学者・哲学者であるジャン・カルロ・ロタによって与えられた。

 概要 
有限集合  と 、それらの濃度  と  を定める。

ここで考えたい一般的な問題は、写像  の同値類の数え上げである。

写像  に、次の3つの条件のいずれかを適用する：
 条件なし： は  を  の任意の  に写さなくても（写しても）よい。また、ある  に、 の複数の  を写してもよい。
  は単射である： が写した  の値  は、互いに異なる。言い換えると、 は、 のどの  にも複数回写すことはない（高々 1回である）。
  は全射である： は  を  の全ての  に写す。言い換えると、 は、 のどの  にも  から写している。
（条件2. かつ 3. の場合は「 は全単射である」となる。これは  の場合のみ成立可能である。）

写像  に、4種類の同値関係が定義される：
 等しい
  の置換による違いを除いて、等しい
  の置換による違いを除いて、等しい
  および  の置換による違いを除いて、等しい
結局、写像  に適用する条件は、上記の3条件と4つの同値関係の、通りがある。

写像の同値類を数え上げる12種の問題は、各々は同じ難易度ではなく、また、これらを統一的に解く方法は知られていない。12種の問題のうち、2つの問題は自明（同値類の数は0または1）であり、5つの問題は解が  の乗法的な公式で与えられる。残る5つの問題は、組合せに関わりのある関数（スターリング数、分割数など）によって解が与えられる。

 観点 
写像12相における問題を考えるにあたり、集合と写像による現代数学の記法を身近で具体的な例（またはいくつかの同様の視覚化）に置き換えて説明し理解することができる。

 球と箱 
伝統的に、写像12相での問題の多くは、「有限個の球全てを有限個の箱にどのように入れるか」といったモデルで説明されてきた。集合 N を有限個の球からなる集合、集合 X を有限個の箱からなる集合とし、写像  は、それぞれの球 a を箱 ƒ(a) に入れる操作に置き換えて考えることができる。

f が単射であることは、「箱に入る球は1個だけ」、f が全射であることは「箱には必ず球を入れる」に対応する。

N の置換による違いを同一視するのは「球を区別しない」、X の置換による違いを同一視するのは「箱を区別しない」に対応する。

 公式 
+12種類の対象と数え上げの公式写像の同値類条件なし単射全射 X の点の n点数列重複順列X の n点順列順列（下降階乗冪）N の x人への集合分配 X の n点部分多重集合重複組合せX のn点部分集合組合せn個の x人への分配組合せ N の x個以下への集合分割ベル数N の x個以下への要素分割(0 or 1)N の x個への集合分割スターリング数(第2種) n の x個以下への和分解分割数n の x個以下への単位分割(0 or 1)n の x個への和分解分割数

 関連項目 
 Permutation（曖昧さ回避）
 置換 (数学)
 集合の分割
 自然数の分割
 重複置換
 完全順列
 多重集合
 写像

 外部リンク 


Category:組合せ論
Category:置換
Category:数学に関する記事
Category:名数12