エントロピー最大化モデル

エントロピー最大化モデル（エントロピーさいだいかモデル、）は、により導出された空間的相互作用モデルである。このモデルではエントロピーの概念が使用されており、モデル式は統計力学的な方法で、パーソントリップを分子運動のように捉えて導かれた。また、このモデルが重力モデルの理論的な根拠を説明したことで、重力モデルの問題点の一部が解消された。

 モデル式 
発生―吸収制約モデル、発生制約モデル、吸収制約モデルの場合について、モデル式は以下のように表される。
発生―吸収制約モデルの場合

ただし 
発生制約モデルの場合

ただし
吸収制約モデルの場合

ただし

 導出 
発生―吸収制約モデルの場合の導出を以下に示す。

発地を個、着地を個、流動数の総和を、地域から地域への流動をとする。このときの流動パターンを考え、流動量が最多となる場合の発着地の組合せを把握したい。このときの制約条件は以下の通りである（ただしは総移動費用）。

ここではをに分配する、場合の数の最大値の決定を行えばよい。このとき、

が成立する。ここで、最大値の導出のために、式()の両辺を自然対数変換すると以下の式が得られる。

ここで、スターリング近似により、が十分に大きいときが成り立つため

が導かれる。よって、の最大化を目標としていく。その際、ラグランジュの未定乗数法を用いる。は式()、は式()、は式()のラグランジュ乗数とするとき、ラグランジュ関数は

となる。ここで、の最大値を与えるは、偏微分方程式を解くことで求められる。よって、以下の式が成り立つ。

式変形すると、以下の式が得られる。

さらに式変形すると、以下の式が得られる。

が得られる。このとき、

とおくと、式()は

と表示でき、発生―吸収制約モデルのときのエントロピー最大化空間的相互作用モデルが導かれた。

この他、発生制約モデルの場合は式()・式()を、吸収制約モデルの場合は式()・式()を、無制約モデルの場合は式()を制約条件として使用することで導出できる。

 脚注 
 注釈 

 出典 

 参考文献 






Category:空間的相互作用