ラプラスの方法

数学においてラプラスの方法（らぷらすのほうほう、）とは、ピエール＝シモン・ラプラスにちなんだ積分

の近似に用いられる方法。ここで  は二回連続微分可能な関数、 は大きな数で、端点 ,  は有限でなくともよい。この方法は  で初めて用いられた。

 ラプラスの方法のアイディア 
関数  が点  においてのみ最大値をとると仮定する。数  に対して、次の関数を考える。

点  において関数  と  も最大値をとることに注意する。また、このとき

である。

数  が大きくなるにつれて  の比は指数的に大きくなる一方で  の比は変化しない。したがって、関数の積分における支配的な寄与は点  の近傍における点  のみから来るため近似ができる。

 厳密な主張 
 は区間  上の二回連続微分可能な関数で、ある点  でのみ

を満たすと仮定する。このとき

である。（ここで  は両辺の比が  の極限で  に収束することを意味する。）

 他の定式化 
ラプラスの方法は

と書かれることもある。

 例：スターリングの公式 
ラプラスの方法はスターリングの公式

の導出に用いることができる。ガンマ関数の定義から

が得られる。変数変換  を考えると  ゆえ

この積分はラプラスの方法が適用できる形である。いま  とおけば、これは二階微分可能で、

よって関数  は点  でのみ最大値  をとり、 である。したがって

となる。

 脚注 

 参考文献 


 関連項目 
 停留位相の方法
 大偏差理論
 ラプラス原理

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