球冠

球冠（英語ではspherical cap, spherical domeやspherical segment of one baseという）とは、平面により切断された球の一部のこと。平面が球の中心を通り、球冠の高さが球体の半径と等しいときには半球となる。

 体積と表面積 
球冠の体積と曲面の面積は、次の値を組み合わせることで計算できる。
 球の半径 
 球冠の底の半径 
 球冠の高さ 
 球の中心から球冠の頂点（極）までの線と球冠の底を形作る円板の端との間の極角 
  と  を用いる  と  を用いる  と  を用いる 体積  .   表面積   
 が地理座標における緯度を示す場合、である。

 と  の関係はであれば問題ない。例えば、図の赤い部分はの球冠である。

 と  を用いる式は、ピタゴラスの定理を用いての代わりに球冠の底面の半径を用いる式に書き換えることができる。

つまり

となる。
これを式に代入すると

となる。
 球面扇形の体積から直感的に表面積を導出する 
以下の議論ベースの計算とは別であるが、球冠の表面積は直感的な議論により球面扇形の体積  から導出することができる。

直感的な議論は、総体積を無限小の三角錐の総体積を合計することに基づいている。角錐の体積の式（は各角錐の底面（球体の表面にある）の無限面積で、 は底面から頂点（球の中心）までの各角錐の高さ）を用いる。極限をとったときの各は定数であり、球の半径と等しいため、無限小の角錐の底面積の合計は球冠の表面積に等しくなる。

 計算を用いた体積と表面積の導出 
体積と表面積の式は次の関数
 ()
を調べ、表面積に対しては回転面の式、体積に対しては回転体の式を用いることで導出される。
表面積は

である。の導関数は

であるから

となる。よって表面積の式は

となる。体積は

となる。

 応用 
 2つの交差する球の和集合と交差部の体積 
半径 と の球が交差したときの和集合の体積は、

ここで

は2つの独立した球の体積の合計で

は交差を作り出す2つの球冠の体積の合計。 が2つの球の中心間の距離であるとき、変数 と を消すと

となる。
 平行な平板で囲まれた部分の表面積 
2つの平行な平板で囲まれた球台の表面積は、それぞれの球冠の表面積の差である。半径で高さが と の球冠の場合、表面積は

であり、地理座標である緯度 と を用いると

となる。例えば、地球を半径6371 kmの球と仮定すると、北極（2016年8月現在、北極圏である緯度66.56°より北）の表面積は、2·63712|sin 90° − sin 66.56°| = 2104万km2で、地球の総表面積の0.5·|sin 90° − sin 66.56°| = 4.125%である。

この式を用いることで、地球の表面積の半分が南緯30°と北緯30°の間にあることを示すことができる。この範囲は熱帯を包含する。

 一般化 
 他の立体の部分 
回転楕円体のドーム(spheroidal dome)は、ドームが円対称（回転軸を持つ）になるように回転楕円体の一部を切り取ることで得られる。楕円体から楕円体のドームも同様に得られる。

 超球冠 
一般的に、次元ユークリッド空間における高さ で半径 の超球冠の次元の体積は

で与えられる。ここで（ガンマ関数）はで与えられる。

の式は、n次元球体単位の体積や超幾何関数  、正規化不完全ベータ関数  を用いて
と表すことができ、

表面積の式は、n次元球体単位の表面積を用いて

と表すことができる。ここでである。

それより前に (1986, USSR Academ. Press) 次の式が導出されていた。
, where 
,

.

奇数に対しては

.

 漸近性 
およびである場合、（は標準正規分布の積分）であることが示されている。

より定量的な方法でこれを書くとAnja Becker, Léo Ducas, Nicolas Gama, and Thijs Laarhoven. 2016. New directions in nearest neighbor searching with applications to lattice sieving. In Proceedings of the twenty-seventh annual ACM-SIAM symposium on Discrete algorithms (SODA '16), Robert Kraughgamer (Ed.). Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA, USA, 10-24.、境界が与えられる。
大きな球冠（で）の場合、境界はと簡単にすることができる。

 関連項目 

 弓形 — 2次元の物体への類推
 立体角 — n次元球冠の式に含まれる
 球台
 半楕円体形
 球面扇形


 脚注 

 出典 

 関連文献 








 外部リンク 

  Derivation and some additional formulas.
 Online calculator for spherical cap volume and area.
 Summary of spherical formulas.

Category:球面幾何学