フレシェ分布

フレシェ分布（) は逆ワイブル分布としても知られている。フレシェ分布は、ガンベル分布（タイプIの極値分布）、ワイブル分布（タイプIIIの極値分布）とともに、一般化極値分布（）の特別なケースである。フレシェ分布はタイプIIの極値分布と呼ばれる。

フレシェ分布の名称は、フレシェ分布を発見した数学者モーリス・ルネ・フレシェに由来する。

 研究の発展 

モーリス・ルネ・フレシェは、1927年に、Fréchet (1927) において、最大値の漸近分布を考察している。フレシェ分布の研究は、さらに、ロナルド・フィッシャーとL・H・C・ティペットの1928年の共著論文によってなされている。Fisher and Tippett (1928) は、極値分布がガンベル分布（タイプI）、フレシェ分布、ワイブル分布（タイプIII）の3つのいずれか1つのみであることを示した。エミール・ユリウス・ガンベルは、フレシェ分布を含む極値分布の研究を詳細に行い、1958年に極値統計学の書籍をまとめた。

 定義と性質 

フレシェ分布の累積分布関数は

である (Alves & Neves 2011) 。ここで、α > 0は、形状パラメータである。フレシェ分布の確率密度関数は

となる。

フレシェ分布の期待値と分散は以下の通りとなる (Alves & Neves 2011)。
 期待値はとなる。
 分散はとなる。
ここで、はガンマ関数であり、

である。

ガンベル分布（タイプI）、フレシェ分布（タイプII）、ワイブル分布（タイプIII）は、一般化極値分布として単一の分布関数で表現できる。

 一般化フレシェ分布 

位置パラメータ m（最小値）と尺度パラメータs > 0を含めることで、フレシェ分布を一般化することができる。
一般化フレシェ分布の累積分布関数は

である。
一般化フレシェ分布の確率密度関数は

となる。

 応用例 

 水文学
 フレシェ分布は、1日当たり降水量の年間最大値のような極端な現象に適用される。
 金融
 フレシェ分布は、市場収益をモデル化するために使われてきた。
 国際経済学（貿易論）
 リカード・モデルを連続財・多数国モデルに拡張した著名な研究 Eaton and Kortum (2002) は、国iの各財を生産する効率性 () の分布が次のフレシェ分布に従うと仮定した。

 ここで、 が形状パラメータ（定義式の）に相当する。 が小さいほど、効率性の分散が大きくなり、比較優位の役割が大きくなる。 は、分布の場所を左右する追加的なパラメータである。が大きいほど、効率性が高められ、絶対優位が強くなる。

 脚注 

 注釈 

 出典 

 参考文献 











 関連項目 
 確率分布
 極値分布
 ガンベル分布（タイプIの極値分布）
 ワイブル分布（タイプIIIの極値分布）
 モーリス・ルネ・フレシェ

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