数値線形代数

数値解析における数値線形代数（すうちせんけいだいすう、）とは、線形代数で現れる問題（行列積、行列指数関数、連立方程式や固有値・特異値問題）の計算・求解を行うアルゴリズムを創出するための学問である森正武. 数値解析 第2版. 共立出版.数値線形代数の数理とHPC, 櫻井鉄也, 松尾宇泰, 片桐孝洋編（シリーズ応用数理 / 日本応用数理学会監修, 第6巻）共立出版, 2018.8。最適化問題・有限差分法・有限要素法などに応用されている。

 意義 

どんなに次元の高い連立方程式でも、原理的にはクラメルの公式を使えば解くことはできる。しかし、クラメルの公式による数値解法ではものすごく時間がかかってしまうということが分かっている。このため、これまで様々な数値線形代数のアルゴリズムが開発されてきた。ガウスの消去法はその先駆けとも言える。

 現代の主流 

現代においては

共役勾配法
GMRES法
ランチョス法
QR法
QZ法Moler, C. B., & Stewart, G. W. (1973). An algorithm for generalized matrix eigenvalue problems. :en:SIAM Journal on Numerical Analysis, 10(2), 241-256.
dqds法 (differential quotient difference with shift)Fernando, K. V., & Parlett, B. N. (1994). Accurate singular values and differential qd algorithms. :en:Numerische Mathematik, 67(2), 191-229.
oqds法 (orthogonal quotient difference with shift)U. von Matt, The orthogonal QD algorithm, SIAM J. Sci. Comput., 18 (1997), 1163–1186.
分割統治法
MRRR法 (multiple relatively robust representations)Dhillon, I. S., Parlett, B. N., & Vömel, C. (2006). The design and implementation of the MRRR algorithm. ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS), 32(4), 533-560.
MRTR法Abe, K., Zhang, S. L., & Mitsui, T. (1997). MRTR method: An iterative method based on the three-term recurrence formula of CG-type for nonsymmetric matrix. JSIAM, 7, 37-50.
 Sakurai-Sugiura 法Sakurai, T., & Sugiura, H. (2003). A projection method for generalized eigenvalue problems using numerical integration. :en:Journal of computational and applied mathematics, 159(1), 119-128.
 CIRR 法 (Rayleigh-Ritz type method with contour integral)Sakurai, T., & Tadano, H. (2007). CIRR: a Rayleigh-Ritz type method with contour integral for generalized eigenvalue problems. Hokkaido mathematical journal, 36(4), 745-757.
 離散勾配法に基づく解法Miyatake, Y., Sogabe, T., & Zhang, S. L. (2018). On the equivalence between SOR-type methods for linear systems and the discrete gradient methods for gradient systems. :en:Journal of Computational and Applied Mathematics, 342, 58-69.
フィルターを用いた固有値問題の解法Tsutomu Ikegami, Tetsuya Sakurai and Umpei Nagashima: A Filter Diagonalization for Generalized Eigenvalue Problems Based on the Sakurai-Sugiura Projection Method, J. Compu. Appl. Math., Vol.233, No.8, pp.1927–1936 (2010).Anthony P. Austin and Lloyd N. Trefethen: Computing Eigenvalues of Real Symmetric Matrices with Rational Filters in Real Arithmetic, SIAM J. Sci. Comput, Vol.37, No.3, pp.A1365–A1387 (2015).Hiroshi Murakami: Filter Diagonalization Method by Using a Polynomial of a Resolvent as the Filter for a Real Symmetric-Definite Generalized Eigenproblem, in proceedings of EPASA2015, Springer, LNCSE-117, pp.205–232 (2018).Hiroshi Murakami: Filters Consist of a Few Resolvents to Solve Real Symmetric-Definite Generalized Eigenproblems, Japan J. Indust. Appl. Math., Vol.36, No.2, pp.579–618 (July 2019).

などをはじめとした高速・高精度解法（反復法）の研究が主流になっている戸川隼人. (1977). 共役勾配法. シリーズ新しい応用の数学.藤野清次, & 張紹良. (1996). 反復法の数理. 朝倉書店.。
 クリロフ部分空間法 

数値線形代数で現れる反復法の中には、クリロフ部分空間に理論的基盤を持つものが少なからず存在する。これらはクリロフ部分空間法（）と総称され、数値線形代数において最も成功した手法とされている。主なクリロフ部分空間法として以下が知られている（共役勾配法については後述する）。

 :en:Arnoldi iteration
 ランチョス法
 GMRES法
 MINRES法Christopher C. Paige and Michael A. Saunders, Solution of sparse indefinite systems of linear equations, :en:SIAM Journal on Numerical Analysis 1975; 12(4):617–629.（、この手法は method of minimum residualKrasnoselskii, M. and Krein, S. (1952). An iteration process with minimal residuals. Mat. Sb. N.S., 31, 315–334. とは異なる）
 CR法Eduard Stiefel, Commentarii Mathematici Helvetici 1952; 29(1):157–179.（共役残差法、）
 QMR系
 QMR法Freund, R. and Nachtigal, N. "QMR: A Quasi-Minimal Residual Method for Non-Hermitian Linear Systems." Numer. Math. 60, 315-339, 1991.Freund, R. and Nachtigal, N. "An Implementation of the QMR Method Based on Coupled Two-Term Recurrences." SIAM J. Sci. Statist. Comput. 15, 313-337, 1994.（、MATLABで利用可能）
 QMR-SYM法R. Freund: Conjugate Gradient-Type Methods for Linear Systems with Complex Symmetric Coefficient Matrices, SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing, Vol. 13, No. 1, pp. 425–448 (1992).X.-M. Gu, T.-Z. Huang, L. Li, H.-B. Li, T. Sogabe and M. Clemens: Quasi-Minimal Residual Variants of the COCG and COCR Methods for Complex Symmetric Linear Systems in Electromagnetic Simulations, IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, Vol. 62, No. 12, pp. 2859–2867 (2014).
 TFQMR法Roland W. Freund, A transpose-free quasi-minimal residual algorithm for non-Hermitian linear systems, :en:SIAM Journal on Scientific Computing 1993; 14(2):470–482.（、MATLABで利用可能）

 共役勾配法 

共役勾配法（）は Hestenes-Stiefel によって開発された連立方程式の数値解法であり、係数行列が正定値対称行列であるときに適用できるHestenes, M. R., & Stiefel, E. (1952). Methods of conjugate gradients for solving linear systems. Washington, DC: NBS.。この方法はガウス＝ザイデル法、ヤコビ法、SOR法よりも収束が速いとされることから、1980年代以降から様々な亜種が開発されたり、非対称行列への適用が試みられているが、前処理行列の取り方が問題によって異なるために決定版と言える解法がまだ存在してない。

以下、代表的な亜種を挙げる。

 CGS (conjugate gradient squared method)Black, Noel and Moore, Shirley. "Conjugate Gradient Squared Method." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein. https://mathworld.wolfram.com/ConjugateGradientSquaredMethod.html
 PCG （preconditioned conjugate gradient method、MATLABで利用可能）
 SCG (scaled conjugate gradient)M. F. Moller. A scaled conjugate gradient algorithm for fast supervised learning. Neural Networks, 6:525--533, 1993.
 ICCG （incomplete Cholesky conjugate gradient method、不完全コレスキー分解付共役勾配法）
 COCG (conjugate orthogonal conjugate gradient method)H. A. van der Vorst and J. B. M. Melissen: A Petrov-Galerkin type method for solving , where  is symmetric complex, IEEE Trans. Mag., Vol. 26, No. 2, pp. 706–708 (1990).
 GPBiCGS. L. Zhang "GPBiCG: Generalized Product-type Methods Based on Bi-CG for Solving
Nonsymmetric Linear Systems", SIAM J. Sci. Stat. Comput. , vol.18, no.2, pp.537-551,
March 1997.張紹良, 藤野清次，ランチョス・プロセスに基づく積型反復解法，日本応用数理学会論文誌，5(1995)， 343-360．
 GPBiCG
STAB系の手法
 BiCGSTAB （biconjugate gradient stabilized method、双共役勾配安定化法、MATLABで利用可能）Van der Vorst, H. A. (1992). Bi-CGSTAB: A fast and smoothly converging variant of Bi-CG for the solution of nonsymmetric linear systems. SIAM Journal on scientific and Statistical Computing, 13(2), 631-644.
 BiCGSTAB2M. H.Gutknecht，Variants of BiCGSTAB for Matrices with Complex Spectrum，SIAM J. Sci. Statist. Comput.，14(1993)， 1020-1033．
 QMRCGSTABTony F. Chan, Efstratios Gallopoulos, Valeria Simoncini, Tedd Szeto and Charles H. Tong, A quasi-minimal residual variant of the Bi-CGSTAB algorithm for nonsymmetric systems, :en:SIAM Journal on Scientific Computing 1994; 15(2):338–347.
 GBi-CGSTABTanio, M., & Sugihara, M. (2010). GBi-CGSTAB (s, L): IDR (s) with higher-order stabilization polynomials. :en:Journal of computational and applied mathematics, 235(3), 765-784.
 Block化した手法
 Block CGD. P. O’Leary: The block conjugate gradient algorithm and related methods, Linear Algebra Appl., 29 (1980), 293–322.A. A. Nikishin, A. Yu. Yeremin: Variable block CG algorithms for solving large sparse symmetric positive definite linear systems on parallel computers, I: general iterative methods, SIAM J. Matrix Anal. Appl., 16 (1995), 1135–1153.
 Block BiCGSTABA. El Guennouni, K. Jbilou, H. Sadok: A block version of BiCGSTAB for linear systems with multiple right-hand sides, Electron. Trans. Numer. Anal, 16 (2003), 129–142.
 Block BiCGGRH. Tadano, T. Sakurai, Y. Kuramashi: Block BiCGGR: a new block Krylov subspace method for computing high accuracy solutions: JSIAM Lett., 1 (2009), 44–47.
 Block BiCGGR2Tadano, H. (2019). Development of the Block BiCGGR2 method for linear systems with multiple right-hand sides. Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics, 1-15.
 Block GWBiCGSTABTadano, H., & Kuramoto, R. (2019). Accuracy improvement of the Block BiCGSTAB method for linear systems with multiple right-hand sides by group-wise updating technique. Journal of Advanced Simulation in Science and Engineering, 6(1), 100-117.

 精度保証 
数値線形代数における精度保証付き数値計算の研究も活発になっており大石進一：「精度保証付き数値計算」、コロナ社、（1999年）、具体的には以下のような研究が行われている。

連立方程式の解に対する精度保証付き数値計算Yamamoto, T. (1984). Error bounds for approximate solutions of systems of equations. Japan Journal of Applied Mathematics, 1(1), 157.Oishi, S., & Rump, S. M. (2002). Fast verification of solutions of matrix equations. :en:Numerische Mathematik, 90(4), 755-773.
並列計算森倉悠介, 椋木大地, 深谷猛, 山中脩也, & 大石進一. (2016). 大規模並列計算機における連立一次方程式の精度保証付き数値計算に対する性能評価. 研究報告ハイパフォーマンスコンピューティング (HPC), 2016(1), 1-7.
悪条件問題 （、条件数が大きい問題）Kobayashi, Y., Ogita, T., & Ozaki, K. (2017). Acceleration of a preconditioning method for ill-conditioned dense linear systems by use of a BLAS-based method. Reliable Computing, 25, 15-23.Kobayashi, Y., & Ogita, T. (2016). Accurate and efficient algorithm for solving ill-conditioned linear systems by preconditioning methods. Nonlinear Theory and Its Applications, IEICE, 7(3), 374-385.A fast and efficient algorithm for solving ill-conditioned linear systems (JSIAM Letters Vol.7 (2015) pp.1-4) Yuka Kobayashi, Takeshi Ogita.悪条件連立一次方程式の精度保証付き数値計算法, 日本応用数理学会論文誌 Vol.15, No.3, 2005, pp.269-286, 太田貴久, 荻田武史, Siegfried M. Rump, 大石進一.
前処理行列Yanagisawa, Y., Ogita, T., & Oishi, S. (2014). Convergence analysis of an algorithm for accurate inverse Cholesky factorization. Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics, 31(3), 461-482.Yanagisawa, Y., Ogita, T., & Oishi, S. I. (2014). A modified algorithm for accurate inverse Cholesky factorization. Nonlinear Theory and Its Applications, IEICE, 5(1), 35-46.Yanagisawa, Y., & Ogita, T. (2013). Convergence analysis of accurate inverse Cholesky factorization. JSIAM Letters, 5, 25-28.
H行列 （比較行列がM行列となる行列）を用いる方法（ペロン・フロベニウスの定理も使う、この方法は疎行列のときも適用可能）Minamihata, A., Sekine, K., Ogita, T., Rump, S. M., & Oishi, S. I. (2015). Improved error bounds for linear systems with H-matrices. Nonlinear Theory and Its Applications, IEICE, 6(3), 377-382.
疎行列に対する精度保証法（コレスキー分解に基づく）Rump, S. M., & Ogita, T. (2007). Super-fast validated solution of linear systems. :en:Journal of computational and applied mathematics, 199(2), 199-206.
固有値問題の解に対する精度保証付き数値計算Yamamoto, T. (1980). Error bounds for computed eigenvalues and eigenvectors. :en:Numerische Mathematik, 34(2), 189-199.Yamamoto, T. (1982). Error bounds for computed eigenvalues and eigenvectors. II. :en:Numerische Mathematik, 40(2), 201-206.Mayer, G. (1994). Result verification for eigenvectors and eigenvalues. Topics in Validated Computations, Elsevier, Amsterdam, 209-276.
ゲルシュゴリンの定理を使う方法（定石として確立されている）
Krawczyk法（精度保証付き求根アルゴリズムの一つ）を使う方法Rump, S. M. (1994). Verification methods for dense and sparse systems of equations.Rump, S. M. (2001). Computational error bounds for multiple or nearly multiple eigenvalues. Linear Algebra and its Applications, 324(1-3), 209-226.Rump, S. M., & Zemke, J. P. M. (2003). On eigenvector bounds. :en:BIT Numerical Mathematics, 43(4), 823-837.
大規模疎行列の場合Yamamoto, N. (2001). A simple method for error bounds of eigenvalues of symmetric matrices. Linear Algebra and its Applications, 324(1-3), 227-234.
対角化可能行列に対する Bauer-Fike型誤差評価、Hoffman-Wielandt型誤差評価Elsner, L., & Friedland, S. (1995). Singular values, doubly stochastic matrices, and applications. Linear Algebra and Its Applications, 220, 161-169.Ipsen, I. C. (1998). Relative perturbation results for matrix eigenvalues and singular values. :en:Acta numerica, 7, 151-201.Deif, A. S. (1990). Realistic apriori and a posteriori error bounds for computed eigenvalues. IMA journal of numerical analysis, 10(3), 323-329.
一般化固有値問題（）丸山晃佐, 荻田武史, 中谷祐介, & 大石進一. (2004). 実対称定値一般化固有値問題のすべての固有値の精度保証付き数値計算法. 電子情報通信学会論文誌 A, 87(8), 1111-1119.
逆固有値問題（）Alefeld, G., Gienger, A., & Mayer, G. (1994). Numerical validation for an inverse matrix eigenvalue problem. Computing, 53(3-4), 311-322.Miyajima, S. (2017). Verified Solutions of Inverse Symmetric Eigenvalue Problems. Reliable Computing, 24(1), 31-44.
特異値分解の精度保証Demmel, J., & Kahan, W. (1990). Accurate singular values of bidiagonal matrices. SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing, 11(5), 873-912.Oishi, S. (2001). Fast enclosure of matrix eigenvalues and singular values via rounding mode controlled computation. Linear algebra and its Applications, 324(1-3), 133-146.
行列式の精度保証Ogita, T. (2008). Verified Numerical Computation of Matrix Determinant. SCAN’2008 El Paso, Texas September 29–October 3, 2008, 86.
行列の乗法有向丸めの変更を使用しないタイトな行列積の包含方法, 応用数理 Vol.21, No.3, 2011, pp.186–196, 尾崎克久, 荻田武史, 大石進一.
 行列方程式の解に対する精度保証Shinya Miyajima, Verified computation for the Hermitian positive definite solution of the conjugate discrete-time algebraic Riccati equation, :en:Journal of Computational and Applied Mathematics, Volume 350, Pages 80-86, April 2019.inya Miyajima, Fast verified computation for the minimal nonnegative solution of the nonsymmetric algebraic Riccati equation, Computational and Applied Mathematics, Volume 37, Issue 4, Pages 4599-4610, September 2018.Shinya Miyajima, Fast verified computation for the solution of the T-congruence Sylvester equation, Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics, Volume 35, Issue 2, Pages 541-551, July 2018.Shinya Miyajima, Fast verified computation for the solvent of the quadratic matrix equation, The Electronic Journal of Linear Algebra, Volume 34, Pages 137-151, March 2018Shinya Miyajima, Fast verified computation for solutions of algebraic Riccati equations arising in transport theory, Numerical Linear Algebra with Applications, Volume 24, Issue 5, Pages 1-12, October 2017.Shinya Miyajima, Fast verified computation for stabilizing solutions of discrete-time algebraic Riccati equations, :en:Journal of Computational and Applied Mathematics, Volume 319, Pages 352-364, August 2017.Shinya Miyajima, Fast verified computation for solutions of continuous-time algebraic Riccati equations, Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics, Volume 32, Issue 2, Pages 529-544, July 2015.
 行列値関数（en）の精度保証（行列値関数の高精度計算法に関する研究についてはHighamなどによる業績が多数あるBini, D. A., Higham, N. J., & Meini, B. (2005). Algorithms for the matrix pth root. Numerical Algorithms, 39(4), 349-378.Deadman, E., Higham, N. J., & Ralha, R. (2012, June). Blocked Schur algorithms for computing the matrix square root. In International Workshop on Applied Parallel Computing (pp. 171-182). Springer, Berlin, Heidelberg.Hargreaves, G. I., & Higham, N. J. (2005). Efficient algorithms for the matrix cosine and sine. Numerical Algorithms, 40(4), 383-400.Davies, P. I., & Higham, N. J. (2003). A Schur-Parlett algorithm for computing matrix functions. :en:SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 25(2), 464-485.）
行列指数関数Miyajima, S. (2019). Verified computation of the matrix exponential. Advances in Computational Mathematics, 45(1), 137-152.
行列の対数Miyajima, S. (2019). Verified computation for the matrix principal logarithm. Linear Algebra and its Applications, 569, 38-61.
行列の平方根Miyajima, S. (2018). Fast verified computation for the matrix principal pth root. :en:Journal of Computational and Applied Mathematics, 330, 276-288.

 可積分系との関係 

可積分系・力学系と数値線形代数の間に関係があるという事実が注目されている解析学百科II 可積分系の数理、朝倉書店、中村佳正 et al. (2018)可積分系の機能数理、共立出版、中村佳正。Nakamura, Y. (2001). Algorithms associated with arithmetic, geometric and harmonic means and integrable systems. :en:Journal of computational and applied mathematics, 131(1-2), 161-174.Chu, M. T. (2008). Linear algebra algorithms as dynamical systems. :en:Acta Numerica, 17, 1-86.。具体的には戸田格子（ソリトン方程式の一つ）とQR法・qd法Sogo, K. (1993). Toda molecule equation and quotient-difference method. Journal of the Physical Society of Japan, 62(4), 1081-1084.、可積分系と特異値分解.Iwasaki, M., & Nakamura, Y. (2006). Accurate computation of singular values in terms of shifted integrable schemes. Japan journal of industrial and applied mathematics, 23(3), 239.との関係が明らかになった。これらを背景に、離散可積分系から数値線形代数に有用な反復法を開発する試みが行われている。例えば

dLVアルゴリズム「Verification of dLVv Transformation for Singular Vector Computation with High Accuracy」 『In Proceedings of International Conference on Parallel and Distributed Processing Techniques and Applications』 Vol.II, pp.881-887 (2006, 6) Masami Takata, Taro Konda, Kinji Kimura, Yoshimasa Nakamura.「An Evaluation of Singular Value Computation by the Discrete Lotka-Volterra System」 『In Proceedings of International Conference on Parallel and Distributed Processing Techniques and Applications』 Vol.II, pp.410-416 (2005, 6) Masami Takata, Iwasaki Masashi, Kinji Kimura, Yoshimasa Nakamura.Iwasaki, M., & Nakamura, Y. (2011). Positivity of dLV and mdLVs algorithms for computing singular values. Electronic Transactions on Numerical Analysis, 38, 184-201.
dhLVアルゴリズムFukuda, A., Ishiwata, E., Iwasaki, M., & Nakamura, Y. (2008). The discrete hungry Lotka–Volterra system and a new algorithm for computing matrix eigenvalues. Inverse Problems, 25(1), 015007.Fukuda, A., Ishiwata, E., Yamamoto, Y., Iwasaki, M., & Nakamura, Y. (2013). Integrable discrete hungry systems and their related matrix eigenvalues. Annali di Matematica Pura ed Applicata, 192(3), 423-445.Fukuda, A., Ishiwata, E., Iwasaki, M., & Nakamura, Y. (2009). On the qd-type discrete hungry Lotka-Volterra system and its application to the matrix eigenvalue algorithm. JSIAM Letters, 1, 36-39.Yamamoto, Y., & Fukaya, T. (2010). Differential qd algorithm for totally nonnegative Hessenberg matrices: introduction of origin shifts and relationship with the discrete hungry Lotka-Volterra system. JSIAM Letters, 2, 69-72.
mdLVアルゴリズム「An Improved Shift Strategy for the Modified Discrete Lotka-Volterra with Shift Algorithm」 『In Proceedings of 2011 International Conference on Parallel and Distributed Processing Techniques and Applications』 Vol.II, pp.720-726 (2011, 7) Masami Takata, Takumi Yamashita, Akira Ajisaka, Kinji Kimura, Yoshimasa Nakamura.「Speed-up in mdLVs by Limitation in Computational Number of Shift」 『In Proceedings of 2009 International Conference on Parallel and Distributed Processing Techniques and Applications』 Vol.II, pp.704-710 (2009, 7) Masami Takata, Kinji Kimura, Yoshimasa Nakamura.
dhTodaアルゴリズムTakahashi, Y., Iwasaki, M., Fukuda, A., Ishiwata, E., & Nakamura, Y. (2018). Periodic convergence in the discrete hungry Toda equation. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 51(34), 344001.Fukuda, A., Yamamoto, Y., Iwasaki, M., Ishiwata, E., & Nakamura, Y. (2013). On a shifted LR transformation derived from the discrete hungry Toda equation. Monatshefte für Mathematik, 170(1), 11-26.Fukuda, A., Yamamoto, Y., Iwasaki, M., Ishiwata, E., & Nakamura, Y. (2012). Error analysis for matrix eigenvalue algorithm based on the discrete hungry Toda equation. Numerical Algorithms, 61(2), 243-260.
I-SVDアルゴリズムToyokawa, H., Kimura, K., Takata, M., & Nakamura, Y. (2009). On parallelism of the I-SVD algorithm with a multi-core processor. JSIAM Letters, 1, 48-51.

等が研究されている。

 関連項目 
行列解析 (en)
条件数
 ソフトウェア・ライブラリ 

BLAS
OpenBLAS
LAPACK
MATLAB
GNU Octave
INTLAB
NAG数値計算ライブラリ

 手法 

反復法
クリロフ部分空間
ハウスホルダー変換
ギブンス回転
べき乗法
逆べき乗法
ヤコビ法 (固有値問題)
シュトラッセンのアルゴリズム
前処理行列
行列の分解
LU分解
QR分解
コレスキー分解
固有値分解 (en)
特異値分解

 研究者・専門家 
 日本 
杉原正顯（共役勾配法の研究に従事）
大石進一（数値線形代数の精度保証に貢献）
速水謙
 海外 
:en:Aleksey Krylov（クリロフ部分空間を導入）
 ドイツ 
カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ（固有値問題の解法である:en:Jacobi eigenvalue algorithmで知られる）
イサイ・シューア（逆行列を求めるのに使うシューア補行列で知られる）
フェルディナント・ゲオルク・フロベニウス（ペロン＝フロベニウスの定理で知られる）
:en:Helmut Wielandt（固有値問題などについて業績がある）
アンドレアス・フロマー
 アメリカ合衆国 
リチャード・バルガ (en)
ジーン・ゴラブ (en)
クリーブ・モラー (en)

 イギリス 
ジェームズ・H・ウィルキンソン
ニコラス・ハイアム (en)
ニック・トレフェセン (en)

 出典 

 反復法・高精度計算に関する論文 

 精度保証に関する論文 

 可積分アルゴリズムに関する論文 

 参考文献 
 洋書 

 Demmel, J. W. (1997): Applied Numerical Linear Algebra, SIAM.
 Ciarlet, P. G., Miara, B., & Thomas, J. M. (1989): Introduction to Numerical Linear Algebra and Optimization, Cambridge University Press.
 Trefethen, Lloyd; Bau III, David (1997): Numerical Linear Algebra (1st ed.), Philadelphia: SIAM. .
 Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996): Matrix Computations (3rd ed.), Baltimore: The Johns Hopkins University Press. .
 G. W. Stewart: Matrix Algorithms Vol I: Basic Decompositions, SIAM, ISBN 0-89871-414-1 (1998).
 G. W. Stewart: Matrix Algorithms Vol II: Eigensystems, SIAM, ISBN 0-89871-503-2 (2001). 
 Varga, Richard S.: Matrix Iterative Analysis, Springer, 2000.

 Raf Vandebril, Marc Van Barel, and Nicola Mastronardi: Matrix Computations and Semiseparable Matrices, Volume 1: Linear systems, Johns Hopkins Univ. Press, ISBN 978-0-8018-8714-7 (2008).
 Raf Vandebril, Marc Van Barel, and Nicola Mastronardi: Matrix Computations and Semiseparable Matrices, Volume 2: Eigenvalue and Singular Value Methods, Johns Hopkins Univ. Press, ISBN 978-0-8018-9052-9 (2008).
 Higham, N. J. (2008): Functions of Matrices: Theory and Computation, SIAM.
 Higham, N. J. (2002): Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, SIAM.
 David S. Watkins (2008): The Matrix Eigenvalue Problem: GR and Krylov Subspace Methods, SIAM.
 Liesen, J., & Strakos, Z. (2012): Krylov Subspace Methods: Principles and Analysis, Oxford Univ. Press,  Oxford.
 Claude Brezinski, Gérard Meurant and Michela Redivo-Zaglia (2022): A Journey through the History of Numerical Linear Algebra, SIAM, ISBN 978-1-61197-722-6.

 和書 

 仁木滉, & 河野敏行. (1998). 楽しい反復法. 共立出版.
 河村哲也. (2005). 線形代数と数値解析, 朝倉書店.
 杉原正顯, 室田一雄, 線形計算の数理, 岩波書店, 2009年.
 山本哲朗. (2010). 行列解析の基礎–Advanced 線形代数, SGC ライブラリ 79. サイエンス社.
 線形方程式の反復解法、一般社団法人 日本計算工学会 編、藤野清次 著、阿部邦美 著、杉原正顯 著、丸善出版、2013年09月。

 関連特許 
「固有値分解装置、及び固有値分解法」 特許5017666（日本）、PCT/JP2007/051575
「特異値分解装置、及び特異値分解法」 特許5011545（日本）、PCT/JP2006/318713

 外部リンク 

 Some Journals in Numerical Linear Algebra
 手法に関する解説記事 
 反復法 
最小残差法
MINRES 法
CR法 (共役残差法)
CG法 (共役勾配法)
Arnoldi法
行列の固有値問題

 精度保証 

 研究グループ・部会 
 (イギリスの数値線形代数研究グループ)
 (SIAMの数値線形代数研究部会)
The GAMM Activity Group on Applied and Numerical Linear Algebra
計算数理グループ (名古屋大学の数値線形代数研究グループ)
日本応用数理学会「行列・固有値問題の解法とその応用」研究部会 (Algorithms for Matrix / Eigenvalue Problems and their Applications) (日本応用数理学会の研究部会)

 全米科学財団 
Collaborative Research: Randomized Numerical Linear Algebra (RandNLA) for multi-linear and non-linear data
Numerical Linear Algebra and Eigenvalue Computations
 科学研究費助成事業 
数値線形代数における高精度計算アルゴリズムの開発
ロバストで高効率な数値線形代数アルゴリズムの開発
量子計算を併用した数値線形代数学の開拓
エクサ時代の非同期タスクを応用した高性能高次元数値線形代数の研究
リーマン多様体上の最適化アルゴリズムおよびその数値線形代数への応用

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Category:数値解析
Category:線型代数学
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