ハドヴィガーの定理

（もしくは幾何学的確率論）において、ハドヴィガーの定理（ハドヴィガーのていり、）は Rn におけるへのの特徴付けをする定理である。ヒューゴ・ハドヴィガーによって証明された。

導入

付値

Kn を、Rn における全てのコンパクト凸集合の集まりとする。

付値とは、関数 v:Kn → R であって、 v(∅) = 0 かつ、S∪T∈Kn である任意の S,T ∈Kn に対し

を満たすもののことである。付値が連続であるとは、それがハウスドルフ距離について連続であることをいう。付値が剛体運動の下で不変であるとは、任意の S ∈ Kn と Rn の任意の平行移動または回転に対し
v(φ(S)) = v(S)

が成り立つことをいう。

Quermassintegrals
 Wj: Kn → R は、シュタイナーの公式

によって定義される。ここで B はユークリッド球体。例えば、W0 は体積、W1 は表面積の定数倍、Wn-1 は平均幅の定数倍、Wn は定数 Voln(B) である。

Wj は斉 n-j 次の付値である、つまり、

定理の主張

剛体運動の下で不変で連続な、Kn 上の任意の付値 v は、

と表示できる。

系

剛体運動の下で不変で連続、かつ斉 j 次な Kn 上の任意の付値 v は、Wn-j の定数倍である。

参考文献

ハドヴィガーの定理の説明および証明：


Beifang Chen による、初等的で自己完結的な証明：


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