可積分アルゴリズム

可積分アルゴリズム（かせきぶんアルゴリズム、）とは、可積分系から派生した数値解析アルゴリズムの総称である解析学百科II 可積分系の数理、朝倉書店、中村佳正 et al.(2018)可積分系の応用数理、裳華房、中村佳正 et al.(2000)可積分系の機能数理、共立出版、中村佳正。Nakamura, Y. (2004, March). A new approach to numerical algorithms in terms of integrable systems. In International Conference on Informatics Research for Development of Knowledge Society Infrastructure, 2004. ICKS 2004. (pp. 194-205). IEEE.。

背景

Zabusky-Kruskal によるソリトンの発見は彼らによるKdV方程式の数値解析が契機であったようにN. J. Zabusky and M. D. Kruskal, Phys. Rev. Lett. 15 (1965) 240-243.、可積分系理論は数値解析と結びつくことで進展してきた。と数値線形代数におけるQR法・qd法 、特異値分解中村佳正. (2003). 特異値分解法の可積分アルゴリズム INT-SVD (微分方程式の数値解法と線形計算).、離散ソリトン方程式と数列の加速法などPapageorgiou, Grammaticos and Ramani (1993). Integrable Lattices and Convergence Acceleration Algorithms, Phys. Lett. A 179, 111-115.Chang, X. K., He, Y., Hu, X. B., & Li, S. H. (2018). A new integrable convergence acceleration algorithm for computing Brezinski-Durbin-Redivo-Zaglia’s sequence transformation via Pfaffians. Numerical Algorithms, 1-20.、可積分系と数値解析の対応関係が次々と見出されて、可積分系を数値解析へ応用していく研究が活発化しているNakamura, Y. (2001). Algorithms associated with arithmetic, geometric and harmonic means and integrable systems. :en:Journal of computational and applied mathematics, 131(1-2), 161-174.Chu, M. T. (2008). Linear algebra algorithms as dynamical systems. :en:Acta Numerica, 17, 1-86.。

可積分差分スキーム
広田良吾の研究

KdV方程式、mKdV方程式などは非線形性によって差分法、有限要素法などの従来通りのやり方では精度の良い計算ができず、数値実験結果だけを見ていると間違った結論（幻影解）にたどり着く危険がある。そこで広田良吾は「可積分系がもっている数学的構造を離散化しても保存する」という観点に立ってKdV方程式を含むいろんな可積分系の差分化を行ったR. Hirota, J. Phys. Soc. Jpn. 43 (1977) 4116-4124.R. Hirota, J. Phys. Soc. Jpn. 43 (1977) 2074-2078.R. Hirota, J. Phys. Soc. Jpn. 43 (1977) 2079-2086.R. Hirota, J. Phys. Soc. Jpn. 45 (1978) 321-332.R. Hirota, J. Phys. Soc. Jpn. 46 (1979) 312-319.。広田良吾による研究はその後、以下のような様々な方面へ発展する。
超離散（）ソリトンモデル（ソリトンの超離散化）広田良吾, & 高橋大輔. (2003). 差分と超離散. 共立出版.超離散化（）に関する研究は2012年に日本応用数理学会から業績賞を受賞しており、その受賞理由は次のとおりである。や箱玉系 () 時弘哲治. (2010). 箱玉系の数理. 朝倉書店.の研究
曲線と曲面の幾何学への応用（可積分幾何、）井ノ口順一. (2010). 曲線とソリトン. 朝倉書店.井ノ口順一. (2015). 曲面と可積分系. 朝倉書店.Bobenko, A. I., & Seiler, R. (Eds.). (1999). Discrete integrable geometry and physics. :en:Oxford University Press, USA.

Ablowitzの研究
一方で広田良吾と同じころ、Ablowitzたちはラックス・ペアの差分化によって様々なソリトン方程式を差分化しただけでなくM. J. Ablowitz and J. F. Ladik, J. Math. Phys. 16 (1975) 598-603.M. J. Ablowitz and J. F. Ladik, J. Math. Phys. 17 (1976) 1011-1018.M. J. Ablowitz and J. F. Ladik, Stud. Appl. Math. 55 (1977) 213-229.M. J. Ablowitz and J. F. Ladik, Stud. Appl. Math. 57 (1977) 1-12.M. J. Ablowitz and H. Segur, Solitons and Inverse Scattering Transform, (SIAM, Philadelphia, 1981).、可積分差分スキームによる数値解析と標準的手法との精度の比較を行い、可積分差分スキームが標準的手法よりも大幅に精度がよくなる場合があることを示したT. R. Taha and M. J. Ablowitz, J. Comput. Phys., 55 (1984), 192-202.T. R. Taha and M. J. Ablowitz, J. Comput. Phys., 55 (1984), 203-230.T. R. Taha and M. J. Ablowitz, J. Comput. Phys., 55 (1984), 231-253.T. R. Taha and M. J. Ablowitz, J. Comput. Phys., 55 (1988), 540-548.。

出典

関連項目
可積分系
ソリトン
数理物理学
数値解析
数列の加速法
数値線形代数
偏微分方程式の数値解法

外部リンク
ハングリー型離散・超離散可積分系の固有値問題への応用
情報幾何構造と離散時間可積分系によるアルゴリズムの研究
可積分系理論を基盤とした大変形現象の数値計算のための自己適合移動格子法の開発
離散可積分系の行列式解の漸近解析とその数値計算アルゴリズムへの応用
離散可積分系による連分数計算とその回路同定とBCH-Goppa復号法への応用
離散ソリトン方程式の数理工学への応用

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