置換可能素数

置換可能素数（ちかんかのうそすう、）は、与えられたにおいて、任意の桁の数字を置換しても素数となる素数のことである。この素数を最初に研究したはこれを"permutable primes"（置換可能素数）と呼んだが、後に"absolute primes"（絶対素数）とも呼ばれた。また、"anagrammatic prime"（アナグラム素数）とも呼ばれる。

基数10においては、49,081桁以下の全ての置換可能素数が判明している。
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 113, 131, 199, 311, 337, 373, 733, 919, 991, R19 (1111111111111111111), R23, R317, R1031, ... 

上記から、置換により同じ数字となるもののうち最小のもの以外を除くと、以下の16個となる。
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 37, 79, 113, 199, 337, R19, R23, R317, R1031, ... 

ここで、 Rn =  は、n個の1（基数10）だけで構成される数（レピュニット数）である。全てのレピュニット素数は上記に定義した置換可能素数であるが、定義によっては少なくとも2つの異なる桁が必要となるChris Caldwell, The Prime Glossary: permutable prime at The Prime Pages.。

全ての2桁以上の置換可能素数は1,3,7,9で構成されている。これは、2以外の偶数は素数ではなく、5以外の素数は5で割り切れないからである。1,3,7,9の4つの数字のうちの3つを含む置換可能素数が存在しないこと、1,3,7,9から選択された2つの数字の各々が2つ以上から構成される置換可能素数が存在しないことは証明されているA.W. Johnson, "Absolute primes," Mathematics Magazine 50 (1977), 100–103.。

3 < n < 6·10175となるn桁のレピュニット以外の置換可能素数は存在しない。上記に挙げた以外のレピュニットでない置換可能素数は存在しないと予想されている。

 脚注 

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