ディリクレの判定法

数学において、ディリクレの判定法（ディリクレのはんていほう、）は、級数の収束判定法の一つである。名称はこれを記述したペーター・グスタフ・ディリクレにちなんでいるが、発表されたのは彼の死後、1862年の "Journal de Mathématiques Pures et Appliquées" においてであったDémonstration d’un théorème d’Abel. Journal de mathématiques pures et appliquées 2nd series, tome 7 (1862), p. 253-255.。

 主張 

実数列  と複素数列  が次の条件





 ある定数  があり、全ての正の整数 N に対して 

を満たすならば、級数  は収束する。

 証明 

、 とおく。

部分和分法により  と変形できる。

 は絶対値が M で抑えられていて  なので、第1項は0に収束する：
 ()

一方  は非増加数列なので  は任意の k に対し非負であり、 となるが、

であるから、 は  のとき  に収束する。

よって比較判定法により  もまた収束する。級数  は絶対収束するから自身もまた収束する。

以上より  が収束することが言えた。

 応用 
 ディリクレの判定法で



とした特別な場合がである。

  が減少して0に収束する実数列であれば、 は常に収束する。

 アーベルの判定法はディリクレの判定法の特別な場合だと見なせる。

 広義積分 
広義積分の収束に対しても類似した命題が成り立つ。実軸の非有界区間で定義された関数 f と g があって、f は任意の積分範囲での積分値の絶対値がある定数で一様に（積分範囲に依らず）上から抑えられていて、g は非負値かつ単調非増加のとき、fg の広義積分は収束する。

 脚注 

 参考文献 

 Hardy, G. H., A Course of Pure Mathematics, Ninth edition, Cambridge University Press, 1946. (pp. 379–380).
 Voxman, William L., Advanced Calculus: An Introduction to Modern Analysis, Marcel Dekker, Inc., New York, 1981. (§8.B.13-15) .

 外部リンク 
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