ジグザグ補題

数学、特にホモロジー代数学におけるジグザグ補題（ジグザグほだい、）は、鎖複体のホモロジー群から成るある種の長完全列の存在を述べるものである。この結果は任意のアーベル圏で通用する。

 補題の主張 
任意のアーベル圏（アーベル群の圏や与えられた体上のベクトル空間の圏など）において、 が以下の短完全列を満たす鎖複体だとする：



この系列は以下の可換図式の略記であるとする：

commutative diagram representation of a short exact sequence of chain complexes

ここで各行は全て完全で、各列は全て鎖複体である。

ジグザグ補題は、境界写像（族）



が存在して、次の系列を完全にすることができることを主張する：

long exact sequence in homology, given by the Zig-Zag Lemma

 と  は、通常のやり方で誘導されたホモロジー群の間の写像である。境界写像  は以下の節で説明する。この補題の名称は、系列における写像が「ジグザグ」に走ることから来ている。不運な用語法のバッティングにより、ホモロジー代数には『蛇の補題』の名を持つ別の結果があるにもかかわらず、この命題（ジグザグ補題）はその名（蛇の補題）でも一般に知られている。蛇の補題を使うと、ジグザグ補題のここに記すものとは別の証明が得られる。

 境界写像の構成 
写像  は標準的な図式追跡の議論を使って定義できる。 を、  に属すある同値類の代表元とする。よって  。行方向の完全性より  は全射なので、 となる  が存在しなければならない。図式の可換性より、 

再び行方向の完全性より、 

 は単射だから、 を満たす  が一意的に存在する。これは輪体である。なぜなら  は単射で、かつ  より

が従うからである（つまり  ）。 は輪体なので、 に属すある同値類の代表元になる。ここで、

と定義する。このように定義された境界写像は well-defined であることが示せる（つまり写像が c と b の選択に依らずに定まる。証明は上記の図式追跡の議論と同様である）。また同様の議論で、長系列が各ホモロジー群のところで完全であることも示せる。

 関連項目 
 マイヤー・ヴィートリス完全系列

参考文献

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