閉道 (位相幾何学)

数学の特に位相幾何学における閉道（へいどう、）またはループ (loop) は、始点と終点が等しい道を言う。閉道の始点かつ終点となる点を基点 (basepoint) と呼ぶ。

陽に書けば、位相空間  内の閉道とは、単位区間  から  への連続写像  で  を満たすものである。点付き単位円  は  の  と  を等化して得られる商位相空間と見なせるから、 内の閉道を  から  への連続写像  のことと定めてもよい。基点  を持つ閉道の全体は  のように書かれる。 内の閉道全体の成す集合は、コンパクト開位相を入れて  のループ空間  と呼ばれる一つの位相空間を成す。

やや変更して、適当な実数  に対して閉区間  を定義域とする連続写像  を  内のムーアループ (Moore loop) と呼ぶ。基点を共有するムーアループの全体は道の合成 (concatenation) に関してモノイドを成す。

複素解析では求長可能な閉道に興味がもたれる。 のとき、閉道  に対し、 の巻き数 (winding number)  が各点  で定義される。これは  の周りを  が何周するかを表す整数であり、 で計算できる。

 関連項目 
 : 基点を持たない閉道
 : 位相群上のループ空間が点ごとの積に関してなす群

 ループ代数
 基本群: 閉道の基点を保つホモトピー類の全体が道の合成に関してなす群

 参考文献 

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 外部リンク 





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