順序指数体

数学における順序指数体（じゅんじょしすうたい、）は、順序体であって（実数全体の成す順序体上の指数函数の概念を一般化する）適当な条件を満たす函数を備えたものを言う。

 定義 
順序体  上で定義された指数函数 (exponential)  とは、加法群  から乗法群  の上への狭義単調増大な群準同型を言い、順序体  とその上の指数函数  との対  を順序指数体と呼ぶ。

 例 
 順序指数体の標準的な例は、実数全体の成す順序体  に  () の形に書ける任意の指数函数を併せたものである。そのような函数のひとつに、自然指数函数  がある。順序体  と自然指数函数との対として与えられる順序指数体を  で表す。1990年代には  がであることが示され、と呼ばれる。この結果とに関する Khovanskiĭ の定理を併せれば  が でもあることが示されるA.J. Wilkie, Model completeness results for expansions of the ordered field of real numbers by restricted Pfaffian functions and the exponential function, J. Amer. Math. Soc., 9 (1996), pp. 1051–1094.。アルフレッド・タルスキ―が  の決定可能性の問題を提起したので、いまではそれをと呼ぶ。実数版のシャニュエル予想が真ならば  が決定可能であるということは知られているA.J. Macintyre, A.J. Wilkie, On the decidability of the real exponential field, Kreisel 70th Birthday Volume, (2005).。
 超現実数全体の成す順序体  には  上の自然指数函数  の延長となる指数函数が定義できる。 はアルキメデス性を持たないから、これは非アルキメデス順序指数体の例を与えるものである。
 全体の成す順序体  は、標準的な指数函数を持つような仕方で具体的に構成される。

 形式指数体 
形式指数体あるいは指数閉体とは、（本項で言う意味での）指数函数  を定義可能な順序体を言う。任意の形式指数体  に対し、 上の指数函数  を適当な自然数  に対して  を満たすように選ぶことができるSalma Kuhlmann, Ordered Exponential Fields, Fields Institute Monographs, 12, (2000), p. 24.。

 性質 
 任意の順序指数体  は冪根閉 (root-closed) である。すなわち  の任意の正元が任意の正整数  に対する -乗根を持つ（別な言い方をすれば、 の正元全体の成す乗法群が可除群を成す）。このことは、任意の  に対して  となることを見ればわかる。
 これにより、任意の順序指数体はになることがわかる。 
 これにより、任意の順序指数体は順序であることがしたがう。
 任意の実閉体が必ずしも形式指数体となるわけではない。例えば、実代数的数全体の成す体には指数函数を入れることができない。なぜならば、実数体の任意の形式指数部分体  において、指数函数  は適当な元  () に対して  の形をしていなければならない、にも拘らず  が  のとき代数的でないことがゲルフォント–シュナイダーの定理から従う。
 その帰結として、形式指数体全体の成すクラスはでないことが言える（実数体と実代数的数体はな構造であった）。 
 形式指数体全体の成すクラスはである。これは体  が指数閉であるための必要十分条件が、全射  が存在して  かつ  となることであり、 に関するこれらの性質は公理化可能であることによる。

 関連項目 
 指数体

 注 

 参考文献 



Category:モデル理論
Category:体論
Category:代数的構造
Category:数学に関する記事