マギーグラフ

マギーグラフとは、グラフ理論のグラフの1つであり、24頂点、36辺の、3-正則グラフである。(3-7)-ケージ とも呼ばれる。

マギーグラフは (3,7)-ケージの唯一の例であり、 内周が7である立方体グラフの最小の例である。また、立方体グラフかつケージで、ムーアグラフではない最小のグラフである。

Sachsがマギーグラフを最初に見つけたが、発表しなかったKárteszi, F. "Piani finit ciclici come risoluzioni di un certo problemo di minimo." Boll. Un. Mat. Ital. 15, 522-528, 1960。その結果、1960年に発表したマギーにちなんで、このグラフはマギーグラフと名付けられたMcGee, W. F. "A Minimal Cubic Graph of Girth Seven." Canad. Math. Bull. 3, 149-152, 1960。その後、1966年ににより、マギーグラフは (3,7)-ケージの唯一の例であることが証明されたTutte, W. T. Connectivity in Graphs. Toronto, Ontario: University of Toronto Press, 1966Wong, P. K. "Cages--A Survey." J. Graph Th. 6, 1-22, 1982Brouwer, A. E.; Cohen, A. M.; and Neumaier, A. Distance Regular Graphs. New York: Springer-Verlag, p. 209, 1989。

マギーグラフは平面グラフにすると8箇所以上で交叉する。つまり、マギーグラフのは8である。交叉数が8となる最小な立方体グラフには5つの非同型なグラフがあり、マギーグラフはその1つである。一般化ピーターセングラフ（）もその1つである .。

マギーグラフのは 4、直径は 4、彩色数は 3 、彩色指数は 3である。マギーグラフは 3-頂点連結グラフ であり 3-辺連結グラフである。 本型埋め込み((book embedding)の厚み(book thickness)は 3 であり、queue numberは 2であるJessica Wolz, Engineering Linear Layouts with SAT. Master Thesis, University of Tübingen, 2018。

 代数的性質 
マギーグラフの特性多項式はである。
マギーグラフの自己同型群の位数は 32 であり、その頂点は推移的ではない。つまり、長さ8や16の2つの頂点軌道をもつ。マギーグラフはvertex-transitive graphではない（頂点が推移的でない）最小の立方体グラフであるBondy, J. A. and Murty, U. S. R. Graph Theory with Applications. New York: North Holland, p. 237, 1976.・

 ギャラリー 

 注釈・出典 

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