レスターの定理

平面幾何学におけるレスターの定理（レスターのていり、Lester's theorem）は、任意の不等辺三角形において外心・九点円の中心・2つのフェルマー点の4点が同一円上にあるという定理である。

この定理の名称は1997年に論文を発表したジューン・レスターに由来する。この4点を通る円は Clark Kimberling（英語）によってレスター円（Lester Circle）と命名されている。

レスターはこの定理を複素数を用いて証明しているが、のちに初等幾何学を用いた証明、ベクトルを用いた証明、コンピュータによる証明が発表されている。

 レスター円 
レスター円は、不等辺三角形の外心・九点円の中心・2つのフェルマー点の4点を通る円である。Clark Kimberling によって命名された。また、氏のサイト「Encyclopedia of Triangle Centers」ではX(1116)として登録されている。

中心の重心座標は、以下の式で表される。


ここで、 は3辺の長さ、は外接円の半径である。

二等辺三角形の場合、4点が同一直線上に来るためこの円は定義できない。

 拡張 
Paul Yiu によれば、Bernard Gibert　は2000年にこの定理の拡張となる以下の事実を発表している。
 直径の両端がキーペルト双曲線上にあり、かつその直径がオイラー線と直交する円は、2つのフェルマー点を通る。

Dao Thanh Oai は、直角双曲線を利用したさらなる一般化を発表した。
 直角双曲線上に以下の点を定義する
 H と G は双曲線の同じ側にある点である。
 F と F は、その点における双曲線の接線が HG と平行になる点である。2点は双曲線の中心に対して対称の位置にある。
 K と K は、その点における双曲線の接線が HG 上の点 E を通る点である。
 KK とHG の交点を D とし、DE の垂直二等分線と双曲線の交点を G, G とする。6点 D, E, F, F, G, G は共円である。

 参照 

 外部リンク 

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