Kynea数

Kynea数とは、
 または  で表される自然数である。

上の数式の通り、4の n 乗と n+1 番目のメルセンヌ数の和である。Kynea数はCletus Emmanuelによって研究され、Cletus Emmanuelの娘の名にちなんでKynea数と名付けられたCletus Emmanuel's statement on Yahoo group PrimeNumbers。Kynea数は小さい順に
 7, 23, 79, 287, 1087, 4223, 16639, 66047, 263167, 1050623, 4198399, 16785407, ... ()
と続く。

 性質 
n番目のKynea数を二進記数法で表すと、1の後にn - 1 個の 0 が並び、n + 1 個の 1 が並ぶ。
そのため、

とも表現できる。
例えば23は二進記数法で10111であり、79は1001111となる。
n番目のKynea数とn番目のキャロル数は、2n+1 の符号が異なるだけであるため、その差は 2 である。

 Kynea素数 
 Kynea 数 n  10進  2進 1  7  111 2  23  10111 3  79  1001111 4  287  100011111 5  1087  10000111111 6  4223  1000001111111 7  16639  100000011111111 8  66047  10000000111111111 9  263167  1000000001111111111
7から3つおきに、Kynea数は7の倍数になる。そのため、3x + 1 番目（0<x）のKynea数は素数にはなりえない。Kynea素数は、小さい順に 7, 23, 79, 1087, 66047, 263167, 16785407, …()と並ぶ。

, 既知の最大のKynea素数はn = 661478番目のKynea数であり、398250桁の数であるEntry for 661478th Kynea number at Prime PagesCarol and Kynea Prime Search by Mark Rodenkirch。この素数はMark Rodenkirchが2016の6月にCKSieveプログラムとPrimeFormGWを用いて発見したものであり、50番目のKynea素数である。

 一般化 
b進Kynea数を、 (bn + 1)2 − 2 （n ≥ 1）と定義できる。b進Kynea数はbが奇数の場合には偶数であるため、bが偶数のときにのみKynea素数を持つ。

{(2b)n + 1}2 − 2 が素数となるb進Kynea数の、最小の項は
1, 1, 1, 1, 22, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 24, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 6, 2, 1, 3, 1, 1, 4, 3, 1, 8, 2, 1, 1, 2, 172, 1, 1, 354, 1, 1, 3, 29, 3, 423, 8, 1, 11, 1, 5, 2, 4, 11, 1, 6, 1, 3, 57, 24, 368, 1, 1, 1, 11, 19, 1, 3, 1, 13, 1, 12, 1, 41, 3, 1, 3, 4, 4, 2, 1, 152, 1893, 1, 12, 6, 2, 1, 11, 1, 2, 1, 3, 14, 1, 2, 6, 2, 1, 1017, 3, 30, 6, 3, ...番目に現れる

b(bn+1)2 − 2 が素数となるn (n が30000までは網羅)OEIS21, 2, 3, 5, 8, 9, 12, 15, 17, 18, 21, 23, 27, 32, 51, 65, 87, 180, 242, 467, 491, 501, 507, 555, 591, 680, 800, 1070, 1650, 2813, 3281, 4217, 5153, 6287, 6365, 10088, 10367, 37035, 45873, 69312, 102435, 106380, 108888, 110615, 281621, 369581, 376050, 442052, 621443, 661478, ...41, 4, 6, 9, 16, 90, 121, 340, 400, 535, 825, 5044, 34656, 53190, 54444, 188025, 221026, 330739, ...61, 2, 3, 4, 9, 12, 30, 49, 56, 115, 118, 376, 432, 1045, 1310, 6529, 7768, 8430, 21942, 26930, 33568, 50800, ...81, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 17, 29, 60, 167, 169, 185, 197, 550, 12345, 15291, 23104, 34145, 35460, 36296, 125350, ...1022, 351, 1061, ...121, 2, 8, 60, 513, 1047, 7021, 7506, 78858, ...141, 5, 60, 72, 118, 181, 245, 310, 498, 820, 962, 2212, 3928, 5844, 5937, ...162, 3, 8, 45, 170, 200, 2522, 17328, 26595, 27222, 110513, ...181, 10, 21, 25, 31, 1083, 40485, ...201, 15, 44, 77, 141, 208, 304, 1169, 3359, 5050, 22431, 34935, ...223, 166, 814, 1851, 2197, 3172, 3865, 19791, ...2424, 321, 971, 984, ...261, 2, 8, 78, 79, 111, 5276, 8226, 19545, 75993, ...281, 2, 11, 15, 586, 993, 5048, 24990, ...302, 3, 57, 129, 171, 9837, 30359, 157950, ...321, 3, 13, 36, 111, 136, 160, 214, 330, 1273, 7407, 20487, 21276, 22123, 75210, ...341, 2, 14, 29, 61, 146, 2901, 6501, 8093, ...361, 2, 6, 15, 28, 59, 188, 216, 655, 3884, 4215, 10971, 13465, 16784, 25400, ...386, 279, 3490, ...402, 49, 144, 825, 2856, 2996, 5166, 7824, 9392, 40778, ...421, 3, 4, 81, 119, 2046, 2466, 4020, 7907, 8424, 25002, ...443, 195, 1482, 8210, 20502, 60212, 95940, ...461, 54, 2040, 3063, ...481, 207, 329, 1153, 4687, 13274, 25978, ...504, 38, 93, 120, 4396, 11459, 25887, ...

, b進Kynea数で知られている最大の素数は (30157950 + 1)2 − 2 である。

 関連項目 
キャロル数

参考文献

外部リンク

 Prime Database entry for Kynea(661478)
 Carol and Kynea Primes
 Carol and Kynea Prime Search

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