二重メルセンヌ数

二重メルセンヌ数（にじゅうメルセンヌすう）は、数学において以下の形で表されるメルセンヌ数である。

 （pは素数）

 例 
二重メルセンヌ数の最初の4項は以下の通りChris Caldwell, Mersenne Primes: History, Theorems and Lists at the Prime Pages. :






 二重メルセンヌ素数 
二重メルセンヌ数であり、かつ素数である数は二重メルセンヌ素数と呼ばれる。メルセンヌ数 Mp は p が素数である場合のみ素数となるため（証明はメルセンヌ数参照）、二重メルセンヌ素数 は Mp それ自体がメルセンヌ素数となる場合のみ素数となる。Mp が素数となるpの最初の値において、p = 2, 3, 5, 7のときは素数となり、p = 13, 17, 19および31のときの の陽因数が見つかっている。
の素因数分解23素数737素数127531素数21474836477127素数17014118346046923173168730371588410572711素数ではない素数ではない47 × 131009 × 178481 × 724639 × 2529391927 × 70676429054711 × 618970019642690137449562111 × ...138191素数ではない338193759479 × 210206826754181103207028761697008013415622289 × ...17131071素数ではない231733529 × 64296354767 × ...19524287素数ではない62914441 × 5746991873407 × 2106734551102073202633922471 × 824271579602877114508714150039 × 65997004087015989956123720407169 × ...23素数ではない素数ではない2351 × 4513 × 13264529 × 76899609737 × ...29素数ではない素数ではない1399 × 2207 × 135607 × 622577 × 16673027617 × 4126110275598714647074087 × ...31素数ではない295257526626031 × 87054709261955177 × 242557615644693265201 × 178021379228511215367151 × ...37素数ではない素数ではない41素数ではない素数ではない43素数ではない素数ではない47素数ではない素数ではない53素数ではない素数ではない59素数ではない素数ではない612305843009213693951不明（4×1033より小さい素因数はない）
次の二重メルセンヌ素数の最小の候補は、= 22305843009213693951 − 1である。この数はおよそ1.695であるため、現在知られている素数判定法で扱うには大きすぎる。4×1033より小さい素因数はないTony Forbes, A search for a factor of MM61. Progress: 9 October 2008. This reports a high-water mark of 204204000000×(10019 + 1)×(261 − 1), above 4×1033. Retrieved on 2008-10-22.。現在知られている4つ以外に二重メルセンヌ素数はおそらくないと考えられているI. J. Good. Conjectures concerning the Mersenne numbers. Mathematics of Computation vol. 9 (1955) p. 120-121 [retrieved 2012-10-19]。

（pはn番目の素数）の素因数は以下の通り

 7, 127, 2147483647, 170141183460469231731687303715884105727, 47, 338193759479, 231733529, 62914441, 2351, 1399, 295257526626031, 18287, 106937, 863, 4703, 138863, 22590223644617, ... （次は4×1033より大きい） 

 カタラン・メルセンヌ数予想 
の代わりに と書く。二重メルセンヌ数は、これを再帰的に定義した数列の特別な場合である。

 2, M(2), M(M(2)), M(M(M(2))), M(M(M(M(2)))), ... 

これをカタラン・メルセンヌ数という。カタランは、1876年にされたリュカによるM(127)=M(M(M(M(2)))) の素数の発見ののちに、この数列を思いついた (probably collected by the editor). Almost all of the questions are signed by Édouard Lucas as is number 92: 。 カタランは、「ある限度まで」は素数であると推測した。最初の5項（M127未満）は素数であるが、それ以上の数は非常に大きいため、素数であることを（妥当な時間内に）証明する既知の方法はない。しかし、MM127 が素数でない場合、小さい素数pをいくつか法にすることでMM127 を計算して見つけることができる（再帰的冪剰余を用いる。結果の残差が0の場合、pはMM127 の因数であるため、その素数性を反証できる。MM127 はメルセンヌ数であるため、その素因数pは、2·k·M127+1の形でなければならない）。

 関連項目 

 カニンガム鎖
 二重指数関数
 フェルマー数
 完全数


 脚注 

 関連文献 

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 外部リンク 

 Tony Forbes, A search for a factor of MM61.
 Status of the factorization of double Mersenne numbers
 Double Mersennes Prime Search
 Operazione Doppi Mersennes

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