ヤングの畳み込み不等式

数学におけるヤングの畳み込み不等式（ヤングのたたみこみふとうしき、）は、ウィリアム・ヘンリー・ヤングに名を因む、ふたつの函数の畳み込みに関する不等式である。

 定理の主張 
実解析において、ヤングの畳み込み不等式は以下のようなものである:
 定理 (Young's convolution inequality)
  で  が満たされるならば、不等式  が成り立つ。ここに、左辺の  は畳み込みで、 はルベーグ -乗可積分函数の空間および  は -ノルムである。

おなじことだが、以下のように述べることもできる:
  が  を満たすならば  が成り立つ。

 一般化 ヤングの畳み込み不等式は、 を単模群  に取り換えた自然な一般化ができる。 上の両側ハール測度を  とすれば  に関する積分が定義できて、 上の実または複素数値函数  に対して  および  と定めれば、 に対して、件の不等式  はそのままの形で成り立つ（もちろん、 とも書ける）。
 事実として、 は局所コンパクトアーベル群、したがって単模であり、ルベーグ測度がそのハール測度を与えるから、事実これは先の不等式を一般化するものである。

 より厳密な評価 
 の場合、ヤングの不等式はより強く、適当な定数  を含む  の形のより厳密な評価にすることができる。この最適化定数が達成されるとき、函数  は である。

 証明 
最適化定数  のヤングの不等式には、初等的な証明がある。

位相群の不変積分版の証明を以下に示す:

 応用 
ヤングの不等式の応用の一つの例が、-ノルムを用いて が縮小半群である（つまり、ヴァイヤシュトラス変換が -ノルムを大きくしない）ことを示すことである。

 脚注 

 外部リンク 


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