ペロンの公式

数学、特に解析的整数論におけるペロンの公式（ペロンのこうしき、）とは、による、逆メリン変換を用いて数論的関数の和を計算する公式である。

主張
  を数論的関数（つまり複素数の列）とし、


を対応するディリクレ級数とする。実数  があって、この級数は半平面  で一様収束するものとする。

 実数  に対し

と定義する。ここでプライムのついた和記号は、 が自然数のときは最後の項に限り 1/2 を掛けて和をとることを意味する。

このときペロンの公式は、

右辺の複素積分は  と書かれることも多い。この表示のときはコーシーの主値をとっているものと解釈する。

証明のスケッチ
アーベルの総和公式：

において  とおき、

 とすると  だから右辺第1項は消えて

変数変換  をして変形すると、

この右辺はラプラス変換そのものである。よって逆ラプラス変換により

例
ディリクレ級数との関連から、ペロンの公式（もしくは証明のスケッチに現れた等式）は数論的な和に関してよく用いられる。

 リーマンゼータ関数は半平面  で



とディリクレ級数表示され、このとき  より （床関数）となり

 一般にディリクレのL-関数に対しては、

ここで  はディリクレ指標  の和。

 他にも、（1から n までのメビウス関数の和）の値をリーマンゼータ関数の複素積分で表したり、チェビシェフ関数（フォン・マンゴルト関数の和）を含む積分値をリーマンゼータ関数を使った比で表示するといった応用がある。

一般化

ペロンの公式はメリンの離散的畳み込みの特別な場合である。

ここで  とし、  はメリン変換である。

試験関数を  （  はヘヴィサイドの階段関数）と選ぶとペロンの公式が得られる。

 脚注 

 参考文献 
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