素数定数

素数定数（そすうていすう、）は2進法の小数点以下 n 桁目を、n が素数ならば 1、そうでなければ 0 とした実数であり、記号  で表される：
（）
10進法では
（）
となる。

言い換えると、 はが素数全体からなる集合  の指示関数  に対応する数である：

 無理数性 
ρが無理数であることは背理法を用いて容易に証明できる。

ρ の2進展開での k 桁目をr_kとする。ρが合成数とすると任意の自然数 i に対して、r_n = r_{n+ik}が　N < n、に対して成立する正の整数 N と k が存在する。
素数は無限に存在するため、N < p なる素数が存在し、定義によりr_p = 1である。前述の通り、任意の i に対して r_p = r_{p+ik}である。i=pを考えると、添字は素因数分解されるため、1< k+1 に対して r_{p+ik} = r_{p+pk} = r_{p(k+1)} = 0 である。したがって、r_p ≠ r_{p(k+1)}となり、矛盾するため、ρは無理数である。

 脚注 

関連項目
(twin prime constant)　ただし定義はかなり異なる。

Category:無理数
Category:数学定数
Category:素数
Category:数学に関する記事