ラマヌジャンの合同式

整数分割において、ラマヌジャンの合同式（ラマヌジャンのごうどうしき、）は、分割数が満たす整除の関係式G. H. Hardy (1940), Lecture VIHei-chi Chan (2011), chapter 16-20。インドの数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャンに因む。ラマヌジャンはイギリスの数学者ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディの勧めで渡英し、ハーディとの共同研究の中で分割数を研究したRobert Kanigel (1991)。

 定理 
のように、正の整数  をいくつかの正の整数の和として表すことを整数分割という。分割の仕方の総数を分割数といい、 と表す。例えば、である。分割数  は  が () であるとき、それぞれ、で割り切れる。すなわち、

が成り立つ。これらの関係式をラマヌジャンの合同式という。

イギリスの数学者で少佐でもあるパーシー・アレクサンダー・マクマホンは  までの分割数  を計算し、その表を作成した。マクマホンの表からラマヌジャンはこれらの関係式が成り立っていることに気づき、1919年に1番目と2番目の関係式の証明を与えたS. Ramanujan, Proc. Cambridge Philos. Soc. (1919)。3番目の関係式については、ラマヌジャンの没後、1921年にハーディによってラマヌジャンの証明の論文が出版されたS. Ramanujan, Mathematische Zeitschrift (1921)

実際に , , のいくつかを書き下すと次のようになるG .H. Hardy and S. Ramanujan (1918), 論文中のマクマホンによる表。
m0123456789105m+449141924293439444954p(5m+4)53013549015754565123103118575175173525386155
m0123456789107m+5512192633404754616875p(7m+5)77749024361014337338124754386155112150530877358118264
m01234567891011m+661728395061728394105116p(11m+6)112973718311852042261121505539278323338469926697203423257091188908248

ラマヌジャンの合同式はある素数  とある整数  について、

の形をしている。ラマヌジャン自身はこうした合同式は稀であると考えていたが、スコット・アールグレンとマシュー・ボイランは、この関係式を満たす素数 と整数  ()の組が 、すなわち、ラマヌジャンの合同式の場合に限られることを示したS. Ahlgren and M. Boylan, Invent. Math. (2003)。

 拡張 
1919年の論文でラマヌジャンは、さらに以下の関係式が成り立つことを予想した。

但し、は

を満たす正の整数である。これらの予想は、

ならば、すべての に対して

が成り立つ、とまとめることができる。この場合も、証明はの場合をそれぞれ考えればよく、その他の場合は系として得られる。

ラマヌジャンはとの場合の証明のあらましを記している。しかしながら、1934年にはでの反例を見出したS. Cholwa, J. London Math. Soc. (1934)。

であるが、

は、では割り切れない。1938年には、 の場合についてはと補正すれば、正しいことを示したG. N. Watson, J. Reine. Angew. Math. (1938)。
このとき、修正された予想は

ならば、

となる。ワトソンはこの修正された予想において、の場合の証明を与えた。さらに、1967年にはについて証明を与えA. O. L. Atkin, Glascow Math. J. (1967)、最終的にこの予想が正しいことが結論された。

 母関数による証明 
ラマヌジャンの合同式の証明の代表的な方法の一つは、母関数の議論に基づくものである。ラマヌジャン自身も1919年の論文で、5と7を法としたときの合同式の証明に母関数の方法を用いた。次の2つの式は、と  の母関数の表示を直接与えているラマヌジャンは1919年の論文では母関数のやや異なる方法で証明している。同論文で、ラマヌジャンは証明とは別にこの2つの関係式に言明したが、この2つの式については完全な証明を示さなかった。詳細はG. H. Hardy (1940), Lecture VIを参照。。

右辺を  のべき乗で展開したときに、の係数は1番目の式では  となるが、これはで割り切れる。同様に、 の係数は2番目の式では  となるが、これはで割り切れる。すなわち、 と  が成り立つ。なお、-解析で使用される-ポッホハマー記号

を用いれば、

と表すことができる。

 分割のランク・クランク 
1944年にフリーマン・ダイソンは(rank)と呼ばれる量を導入し、5と7を法としたときのラマヌジャンの合同式の組合せ論的解釈に関する予想を提示したF. Dyson, Eureka (1944)Hei-chi Chan (2011), chapter 14。さらにダイソンは(crank)と呼ばれる量が存在することを予想し、11を法としたときについても組合せ論的解釈が可能であることを予言した。ダイソンが導入したランクは分割における最大の和因子から和因子の個数（分割の長さ）を引いた差で定義される。正の整数  のランク  の分割の個数を  と表し、 を法としたときにランクが  と合同な分割の個数を  と表す と  は

の関係にある。。ダイソンは

が成り立つこと予想した。この予想が成り立てば、明らかに  はで割り切れ、 はで割り切れることになる。このランクに関するダイソンの予想が正しいことは、オリバー・アトキンとによって、1954年に証明されたA. O. L. Atkin and H. P. F. Swinnerton-Dyer, Proc. London Math. Soc.(1954)。また、ダイソンが予想した性質を持つクランクは、1988年にとによって発見されたG. Andrews and F. Garvan, Bull. Am. Math. Soc.(1988)。

脚注
 注 

 出典 

 参考文献 
 書籍 
; 

, Reiisued AMS Chelsea (1999); 
; 

 論文 

 外部リンク 

 関連項目 
 分割数

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Category:同値 (数学)
Category:組合せ論
Category:シュリニヴァーサ・ラマヌジャン
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