ヴァン・オーベルの定理

ヴァン・オーベルの定理（Van Aubel's theorem）とは四角形に関する幾何学の定理である。1878年の、ベルギーの数学者 Henricus Hubertus Van Aubel の発表にちなんで命名された.。

オーベルの定理ともいう。

 定理 
任意の四角形の各辺に外接する正方形で、対向する正方形の重心を結んだ2線分は、長さが等しく、直交する。

 証明 
四角形  に対して，頂点  を原点  とする。ベクトル  を複素数  に、ベクトル  を複素数  に、ベクトル  を複素数  に、ベクトル  を複素数  に対応させる。ここで複素数の係数2は計算上の便宜的なものである。また、正方形の中心については、ベクトル  を複素数  に、ベクトル  を複素数  に、ベクトル  を複素数  に、ベクトル  を複素数  に対応させる。四角形  は閉じているから、ベクトルを計算すると



つまり、


となる。この条件で証明することになる。 点  は点  から点  に向かって半分進み、90度方向を変えて半分だけ進むから、複素数  は、


となる。ここに、 は虚数単位で、 である。複素数は極形式  でも表現され、 


であるから、 に  をかけるということは半径 、偏角  の複素数をかけるということであり、拡大縮小をともなわない回転移動ということになる。 

同様にして、複素数  は次のようになる。 




点  から点  に向かうベクトルを  、点  から点  に向かうベクトルを  とすると， は  ， は  であるから、



となる。証明すべきは、線分  と線分  の長さが等しく、互いに直交していることであるから、複素数  と  の関係が、 


を満たすことである。または、この式の両辺に  をかけて整理すると、


となり、この式で証明してもよい。実際に計算すると、




となる。

なお、フィンスラー・ハドヴィッガーの定理を用いた証明もある。

 性質 
四角形の対角線の中点と、ヴァン・オーベルの定理の直交する2線分の中点は共円であるD. Pellegrinetti: "The Six-Point Circle for the Quadrangle". International Journal of Geometry, Vol. 8 (Oct., 2019), No. 2, pp. 5–13.。

 一般化 
ダオ・タイン・オアイ（Dao Thanh Oai）は、ヤコビの定理のような形で、直交性を拡張した。
 任意の四角形について、となるように点を配置したとき、が成立する。

Mathematical Gazetteでは、ひし形や平行四辺形への拡張も示されているM. de Villiers: "Dual Generalizations of Van Aubel's theorem" . The Mathematical Gazette,  Vol. 82 (Nov., 1998), pp. 405-412.J. R. Silvester: "Extensions of a Theorem of Van Aubel". The Mathematical Gazette, Vol. 90 (Mar., 2006), pp. 2-12.。

 出典 

 参考文献 
 西山豊 『理系への数学』2009年11月　- 定理の概要-証明

 関連項目 
 ペトル–ダグラス–ノイマンの定理
 テボーの定理
 ナポレオンの定理
 ボッテマの定理
 ベクタン点


 外部リンク 


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