群の位数に関する積の法則

数学の群論における積の法則（せきのほうそく、, ; 積の公式）は、任意に与えられた二つの部分群およびそれらから作られるおよび交叉という四つの集合の位数（集合の濃度）の関係を記述するものである。

 定理の主張 

 は群  の部分群とし、  は  の形の  の元全体の成す集合を表す。また , ,  の位数をそれぞれ  とするとき、これらと  の位数  との間に、積の法則と呼ばれる関係式 が成り立つ。

初等的な数え上げ問題として、羊飼いの補題 () に基づく証明を以下のように与えることができる:

 の  への作用を、各対  は  を左から、 を右から掛けるものとして定めれば、この作用に関する単位元の軌道に対する
軌道–固定群の関係式あるいはバーンサイドの補題の応用として所期の積の法則を得ることもできる。

 一般化 
任意の  に対し、その属するを  と書く（これはすなわち、 の形の元全体の成す集合である）とき、関係式が成立する。無限群の場合は、部分群の指数を用いて、より強い形の が成り立つ。

 注 

 注釈 

 出典 

 参考文献 



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