弧 (射影幾何学)

有限射影幾何学における弧（こ、) とは  次元の有限射影空間上の、どのような  個の点も決して同一超平面（、つまり  次元の部分空間）上にない点の集合である。

 をさらに小さくすることはできない。 次元空間において、どのような  個の点をとってきても、そのうちの  個の点が同一の  次元の部分空間に属さない限り、それらの  個の点を通る  次元超平面が一意に定まる。

 有限射影平面における弧 

特に、有限射影平面における弧とは有限射影平面上の、どの3点も同一直線状にない点の集合である。そのような  個の点の集合を特に -弧という。

-弧に対して、そのうちのちょうど2点を通る直線を割線 (secant)、ちょうど1点を通る直線を接線 (tangent)、どの点も通らない直線を外線 (exterior line)という。

位数  の有限射影平面において弧の点の個数は  以下である。というのは、弧の任意の1点  をとると、 を通る  本の直線のそれぞれについて、弧に属する点は  の他にあっても1点しか存在しないからである。
位数  の有限射影平面における -弧の割線、接線、外線の数はそれぞれ  本である。

-弧が存在するとき  は偶数でなければならない。というのは -弧  の任意の1点  をとると、上と同様にして、 を通る  本の直線のそれぞれについて、 と交わる点が  以外にちょうど1つずつ存在する。したがって  の1点を通る直線は  とちょうど2点で交わる。次に  に属さない点  を1つとる。 を通る直線で  と交わるもの  を考える。上記の理由から、各  と  の交点はちょうど2つである。 上の各点について、その点と  を通る直線はただ1つ存在する。よって、 が成り立つので、 は偶数でなければならない。

位数  の有限射影平面において -弧をオーバル、 (n + 2)-弧をハイパーオーバルという。オーバルの各点はちょうど1つの接線をもつ。 が偶数のとき、これらの接線は1点で交わり、その1点を加えればハイパーオーバルを構成できる。

位数 （ は素数の冪とする）の有限体上の射影平面上の2次曲線はオーバルとなる。さらに、奇数位数の有限体上の射影平面上のオーバルはそのようなものに限る（、）。

 参考文献 



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