ファン・ホーベ特異点

ファン・ホーベ特異点とは結晶の状態密度（DOS）でみられる特異点（滑らかでない点）のこと。

ファン・ホーベ特異点が生じる波数ベクトルは、ブリルアンゾーンの臨界点と呼ばれる。
3次元結晶の場合、ファン・ホーベ特異点はキンクとなり、そこでは状態密度が微分可能でなくなる。
ファン・ホーベ特異点の最も一般的な応用は、光吸収スペクトルの解析である。

ファン・ホーベ特異点は、1953年にベルギーの物理学者レオン・ファン・ホーベがフォノンの状態密度について最初に取り扱った。
L. Van Hove, "The Occurrence of Singularities in the Elastic Frequency Distribution of a Crystal," Phys. Rev. 89, 1189–1193 (1953).

 理論 
N粒子サイトからなる1次元格子を考える。
各粒子サイト間の距離はaで、全長はL = Naとする。
ここで、この1次元の箱の中に定在波があると仮定するのではなく、周期的境界条件を用いるのが便利である。
See equation 2.9 in http://www2.physics.ox.ac.uk/sites/default/files/BandMT_02.pdf From  we have 

ここでは波長、nは整数である。
正の整数は前進する波、負の整数は後進する波を表す。

この格子中の波動の波長は最短で2aであり、このとき最大の波数となり、|n|は最大値となる。
状態密度g(k)dkを、波数ベクトルがkからk+dkである定在波の数として定義する。
*M. A. Parker(1997-2004)"Introduction to Density of States" Marcel-Dekker Publishing p.7.   

3次元に拡張すると、箱の中の状態密度は、

ここではk空間での体積要素である。
また電子では2つスピンの方向を考慮して、因子２を掛ける必要がある。
連鎖律により、エネルギー空間でのDOSは次のように表せる。

ここではk空間での勾配である。

k空間での位置の組（粒子エネルギーEに対応）はk空間で面を作り、Eの勾配はこの面の全ての点と直交するベクトルである。
* 
このエネルギーEについての関数である状態密度は、

ここで積分は定数Eの面にわたり行う。

が面に直交し、Eの勾配に平行となるような新しい座標系を選ぶことができる。
この座標系が元の座標系の回転であれば、k'空間の体積要素は、

dEは次のように書ける。

g(E)の式に代入すると、

ここで項は、定E面の面積要素である。
の式は、分散関係が極値となる点でDOSの被積分関数が発散することを意味している。
ファン・ホーベ特異点はこれらの点でのDOS関数で起こる性質である。

詳細な解析* This book contains an extensive discussion of the types of Van Hove singularities in different dimensions and illustrates the concepts with detailed theoretical-versus-experimental comparisons for Ge and graphite.によると、3次元空間ではバンド構造が極大か、極小か、または鞍点かに依存して4種類のファン・ホーベ特異点がある。
3次元ではDOSの微分が発散してもDOS自身は発散しない。
関数g(E)は平方根特異性（図を参照）をもつ傾向にある。
自由電子のフェルミ面では、

.

2次元でのDOSは鞍点で対数的に発散し、1次元でのDOSはがゼロとなるところで無限となる。

 測定 
固体の光吸収スペクトルは、バンド構造からフェルミの黄金律を用いて計算される。
そこで評価される行列要素は双極子演算子である。
ここではベクトルポテンシャル、は運動量演算子である。

フェルミの黄金律で現れる状態密度は結合状態密度（JDOS）で、与えられた光子エネルギーで分離される伝導帯と価電子帯での電子状態の数である。
光吸収は、双極子演算子の行列要素（振動子強度）とJDOSの積によるものである。

2次元と1次元でのDOSの発散は数学的に予想されており、容易に観測できる。
グラファイト（擬２次元）やBechgaard塩（擬1次元）のような異方性固体では、ファン・ホーベ特異点によるスペクトルの異常がみられる。
ファン・ホーベ特異点は擬1次元系である単層カーボンナノチューブ（SWNT）の光強度で重要となる。
グラフェンのディラック点はファン・ホーベ特異点であり、グラフェンが電気的中性のときの電気抵抗のピークとして観測される。
ねじれたグラフェン層も、層間のカップリングによる状態密度のファン・ホーベ特異点を示すI. Brihuega et al., Physical Review Letters 109, 196802 (2012).。

 参考文献

Category:物性物理学