位相群の直和

数学において位相群  が二つの部分群  の位相的直和 (topological direct sum (81k:43001)) であるとは、写像  が位相群の同型であるときに言う。より一般に、 がその部分群の有限族  の（位相的）直和であることは、位相群の同型  の存在によって定められる。

 注 位相群  がその部分群族  の位相的直和となるならば、 は特に抽象群として（つまり位相を考えない意味で） の部分群族  の通常の直和ともなっていることに注意すべきである。

 位相的直和因子 
与えられた位相群  に対し、その部分群  が  の位相的直和因子 (topological direct summand) であるとは、適当な部分群  を選んで  が部分群  の直和となるようにできることを言う。)

部分群  が  の位相的直和因子であるための必要十分条件は、  が分裂することである（このとき、 は  から位相的に分裂する (split topologically from ) と言う）。ここに、 は自然な埋め込み、 は自然な射影である。

 例 
  が単位円  を部分群として含む局所コンパクトアーベル群であるとき、 は  の位相的直和因子である。同様の主張が実数直線  に関しても成り立つ (83h:22010)。

 参考文献 

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