双八元数

数学における双八元数（そうはちげんすう、）または複素­八元数（ふくそはちげんすう、）は、  の対  として与えられる。二つの双八元数の積は、双四元数の乗法と双共軛 (biconjugate)  を用いて  と定義される。
 双八元数  の共軛は  とする。
 双八元数  のノルムは  と定義され、これは八つの項を持つ複素二次形式（エルミート二次形式）である。

双八元数全体の成す多元環（双八元数代数、双八元数環）は、単純に実係数の八元数体のとして導入されることもあるが、抽象代数学においては複素数体・自明な対合・二次形式  の三つ組からのケイリー–ディクソン構成の結果として得られる。双八元数環は一般八元数環の一つの例である。

双八元数の任意の対  に対して  が成り立つから、これにより  は合成可能な二次形式であることが分かり、したがって双八元数環は合成代数を成す。

複素八元数はクォークやレプトンの世代を記述するのに用いられたC. Furey (2016) Standard Model Physics from an Algebra ?。

脚注 

 参考文献 
 J. D. Edmonds (1978) Nine-vectors, complex octonion/quaternion hypercomplex numbers, Lie groups and the ‘real’ world, Foundations of Physics 8(3-4): 303–11,  link from PhilPapers.
 J. Koeplinger & V. Dzhunushaliev (2008) "Nonassociative decomposition of angular momentum operator using complex octonions", presentation at a meeting of the American Physical Society
 D.G. Kabe (1984) "Hypercomplex Multivariate Normal Distribution", Metrika 31(2):63−76 
 A.A. Eliovich & V.I. Sanyuk (2010) "Polynorms", Theoretical and Mathematics Physics 162(2) 135−48 

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