置換積分

微分積分学において置換積分（ちかんせきぶん, ）は、変数変換を用いて積分を計算する積分法である。

 一変数の置換 
 不定積分の置換積分 
連続関数  と微分可能関数  について次の等式が成り立つ。

導出には以下のように連鎖律と微分積分学の基本定理を用いる。

この等式から変換公式の両辺の不定積分は  で微分したときに等しいことから、定数項の違いを除いて等しいことが帰結される。

また、変換公式は形式的に  と  に分けて考えることができる。後者は厳密には微分形式の理論によって正当化され、後述する多変数の置換積分と併せて積分の変数変換を一般化する。

定積分の置換積分
定積分で変数変換する際には、以下のように積分区間も変換される。

例
例1

 で  から  に変数変換する。ここで、 なので  である。また、 に対して  であり、 に対して  であるので、 

と計算できる。

例2

 で  から  に変数変換する。このとき、 である。また、 および  であることから積分区間を  に変換すると、この区間において  であることに注意して、

と計算できる。

 多変数の置換 

,と変数変換すると

ここで、

はヤコビアン(ヤコビ行列の行列式である。)

これは形式的にと書ける。

 脚注 

 注釈 

 出典 

 文献 


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関連項目
微分積分学の基本定理