有限単純群の分類

有限単純群の分類 () とは、数学において全ての有限単純群を4つの大まかなクラスへと分類する定理である。
これらの群は、全ての有限群を構成する基本的な要素として見ることが出来る。

この分類定理の証明は、主に1955年から2004年にわたり出版された、100以上の著者により数百の学術誌において書かれた、計1万5000ページ以上もの成果の集大成である。ダニエル・ゴーレンシュタイン (d.1992) と、らは、この証明を整理し見通しよく改訂した「第2世代の証明」の出版を開始している。
(有限単純群の分類問題のあらすじ解説 )
分類定理の主張

分類定理は数学の多くの分野において応用がある。
有限群（また他の数学的対象に対するそれらの作用）の構造についての疑問は、有限単純群のそれへと簡約することが出来る。
分類定理のお陰で、そのような疑問は単純群や散在群の族をチェックすることで答えることが出来る。

1983年にダニエル・ゴーレンシュタインは有限単純群が完全な分類が成されたと発表した。
しかしこれはの分類の証明についての錯誤があったため尚早であった。
欠けていた準薄のケースについての1221ページにも及ぶ証明がアシュバッハーとスミスにより出版された後に、
分類定理の証明の完成が  によりアナウンスされた。

 有限単純群の一覧 
以下の表において、nは自然数、pは素数、qは素数の冪を意味する。
 クラス  表記  位数  例外  重複素数位数の巡回群 Cp, Zpp   交代群 An(n > 4) リー型の群クラス表記位数例外重複 古典的シュヴァレー群An(q)A1(2)3次の対称群S3と同型。, A1(3)4次の交代群A4と同型。Bn(q)(n > 1)B2(2)6次の対称群S6と同型。Cn(q)(n > 2) Cn(2m) ≃ Bn(2m)Dn(q)(n > 3)   例外的シュヴァレー群E6(q)  E7(q)  E8(q)  F4(q)  G2(q)G2(2)スタインバーグ群2A2(9)と同型な指数2の正規部分群を持つ。  古典的スタインバーグ群2An(q2)(n > 1)2A2(22)位数8の四元数群Q8の、位数9の基本アーベル群C3×C3による拡大の一つと同型。2A3(22) ≃ B2(3)2Dn(q2)(n > 3)   例外的スタインバーグ群2E6(q2)  3D4(q3)  鈴木群2B2(q)q = 22n + 1n≥ 1  李群リー(Lie)とは別人である李(Ree)の名前を冠する群。2F4(q)q = 22n + 1n≥ 12F4(2)ティッツ群2F4(2)'と同型な指数2の正規部分群を持つ。 2G2(q)q = 32n + 1n≥ 1  ティッツ群李群の系列の例外2F4(2)の正規部分群として得られる群であり、無限系列ではない。2F4(2)'212(26 + 1)(24 − 1)(23 + 1)(2 − 1)/2 = 散在型の群クラス表記位数マシュー群 M11 M12 M22 M23 M24ヤンコ群 J1 J2 J3 J4コンウェイ群 Co3 Co2 Co1フィッシャー群 Fi22 Fi23 Fi24'ヒグマン＝シムズ群 HSマクラハラン群 McLヘルド群 Heルドヴァリス群 Ru散在型鈴木群 Suzオナン群 O'N原田＝ノートン群 HNライオンズ群 Lyトンプソン群 Thベビーモンスター群 Bモンスター群
（フィッシャー＝グリース・モンスター群） M

 位数の小さな非可換有限単純群の一覧 
位数の小さなものから20個を以下に列挙する。
群位数A560A1(7)168A6360A1(8)504A1(11)660A1(13)1092A1(17)2448A72520A1(19)3420A1(16)4080A2(3)56162A2(9)6048A1(23)6072A1(25)7800M117920A1(27)9828A1(29)12180A1(31)14880A820160A2(4)

 分類定理の概観 
 は2巻からなる証明の低および奇数標数パートの要点を著し、
 は残る標数2のケースを補う第3巻を著した。
この証明は以下の幾つかの主要な部分へと分けることが出来る:

 小さな階数2の群 

 成分型の群 

 標数2型の群 

 単純群の存在と一意性 

 証明の歴史 
 ゴーレンシュタインの問題 

 証明のタイムライン 
以下のリストは多くが  より取られている。
年は一般に結果の完全な証明が成された出版日とする。よって結果の証明や最初のアナウンスより後の年となっている項目もあるが、それは「間違った」順序で現れる。

出版年1832 ガロアが正規部分群を導入し、 と  が単純群であることを発見する。1854ケイリーが抽象群を定義する。1861が最初の2つの  と  を発見し、また  の存在も報告している。1870ジョルダンが幾つかの単純群を列挙した: 交代・射影特殊線型群。そして単純群の重要さを強調した。1872シローがシローの定理を証明した。1873マシューが更に3つのマシュー群 , ,  を導入した。1892オットー・ヘルダーが、任意の非可換有限単純群の位数が少なくとも4つの（互いに異なるとは限らない）素数の積となることを証明した。また有限単純群の分類について問うた。1893コールが位数660までの単純群を分類する。1896フロベニウスとバーンサイドが有限群の指標理論の研究を開始した。1899バーンサイドが、全ての対合の中心化群が非自明な基本アーベル2-群であるような単純群の分類を行った。1901フロベニウスが、フロベニウス群がフロベニウス核を持ち、それ故に単純群でないことを証明した。1901ディクソンが、任意の有限体上のおよび、標数が奇数の体上の型の例外群を定義した。1901ディクソンが  型の例外有限単純群を導入した。1904バーンサイドが指標理論を用いて、非可換な有限単純群の位数は少なくとも3つの異なる素数によって割り切れるというバーンサイドの定理を証明した。1905ディクソンが偶数標数の体上の型の単純群を導入した。1911バーンサイドが全ての非可換有限単純群は偶数の位数を持つのではないかと推測した。1928が、可解群のホール部分群の存在を証明した。1933ホールが-群の研究を開始した。1935がモジュラー指標の研究を開始した。1936が有限強3重可移置換群を分類した。1938がフィッティング部分群を導入し、可解群において、フィッティング部分群がその中心化群を含んでいるというフィッティングの定理の証明を行った。1942ブラウアーがある素数の1乗でちょうど割り切れる群のモジュラー指標を記述した。1954ブラウアーが  を対合の中心化群としてもつ単純群を分類した。1955ブラウアー・ファウラーの定理が与えられた対合の中心化群を持つ有限単純群は有限個であることを示し、このことから対合の中心化群を用いて群の分類を進められることが提案される。1955シュヴァレーがを導入し、, ,  型の例外単純群を与えた。19561957鈴木通夫が、奇数位数の全ての有限単純は巡回的であることを示した。1958がランク1の射影特殊線型群を特徴付け、単純CA群の分類を行う。1959がを導入し、,  型の新しい有限単純群を与えた（後者はジャック・ティッツによっても独立に発見されている）。1959ブラウアー・鈴木の定理により、特に一般四元数群をシロー2部分群にもつ群は単純ではないことが示された。1960トンプソンが、素数位数の固定点のない自己同型をもつ群が巾零であることを証明した。1960とホールとトンプソンが、全ての奇数位数の有限単純が巡回的であることを示した。1960鈴木がを導入した、これは  型を持つ。1961がを導入した、これは ,  型を持つ。1963ファイトとトンプソンがファイト・トンプソンの定理（奇数位数定理）を証明した。1964ティッツがリー型の群についてBN対を導入し、を発見した。1965により2面体シロー2部分群をもつ群が分類される。1966がを証明する。1966がを導入する。これは20世紀になって初めての新しい散在型単純群の発見であった。1968グラウバーマンがを証明する。1968とがを導入する。1968コンウェイがを導入する。1969により、可換シロー2部分群をもつ群が分類される。1969・・・・が導入された。1969ゴーレンシュタインがトンプソンのアイディアに基づき、信号関手を導入する。1970MacWilliams が、ランク3の正規可換部分群をもつ2群は多くとも4つの sectional 2ランクを持つことを示した。（後者の条件を満たすシロー部分群をもつ単純群は、後にゴーレンシュタインと原田耕一郎により分類される）1970がを導入する。1970により、準2面体や wreathed なシロー2部分群をもつ群が分類される。これにより、最大でもランク2の単純群の分類が完成する。1971がを導入する。1971トンプソンがを導入する。1971ベンダーがをもつ群を分類する。1972ゴーレンシュタインが有限単純群を分類するための16ステップのプログラムを提案する。最終的に得られた分類も、このアウトラインにとてもよく沿っている。1972がを導入する。1973がを導入する。1973フィッシャーがを発見する（未出版）。これはフィッシャーとがモンスター群を発見するために用いたものである。またモンスター群は、トンプソンをへと、そしてをへと（ただしこれは原田により異なる手法で既に発見されていた）導いた。1974トンプソンが（可解な局所部分群をもつ群）を分類する。1974により、sectional 2-rank at most 4 の単純群が分類された。その結果、残る有限単純群は成分型か指標2型の群へと分類される。1974ティッツが、最低でもランク3のBN対をもつ群がリー型の群であることを示す。1974アシュバッハーが  をもつ群を分類した。1975ゴーレンシュタインとウォルターが L-balance theorem を証明する。1976グラウバーマンが可解な信号関手定理を証明する。1976アシュバッハーが  を証明する。これは大ざっぱに言うと、幾つかの条件を満たす奇数型の群が標準形において成分を持つと言うことを示している。標準形の成分をもつ群は、多くの著者による論文の巨大なコレクションにおいて分類が成されている。1976がを導入する。1976ヤンコがを導入する。これが最後に発見された散在型単純群である。1977アシュバッハーが奇数標数をもつリー型の群を、彼のを基に特徴付ける。単純群の「ほとんど」を扱うこの定理により、分類の終わりが間近に迫ってきたと広く感じられるようになった。1978Timmesfeldが  extra-special 定理を証明した。このことで、の分類が、幾つかの小さな問題へと分割された。1978アシュバッハーが、すなわち偶数標数の体上のリー型のランク1の群を分類した。1981ボンビエリがを用いて李群の特徴付けにおけるトンプソンの仕事を完成させた。これは分類における最も困難なステップの一つであった。1982Patrick P. McBride がすべての有限群について信号関手定理を証明した。1982グライスが手作業によりモンスター群を構成した。1983により、標数2型かつ標準成分をもつ少なくともランク4の群が、の3つのケースのどれか一つに分類される。1983アシュバッハーが  の仮説を満足する有限群が存在しないことを証明した。 とは、標数2型の群についての3分法定理が与える3つのケースの内の1つである、1983ゴーレンシュタインとライアンが、標数2型かつ少なくともランク4の群について3分法定理を証明する。一方アシュバッハーはランク3の群について証明した。
このことでこれらの群は、3つの小ケースに分割された：すなわち、・ 型の群・標準成分をもつ群である。1983ゴーレンシュタインが、分類の証明が完了したとアナウンスした。しかしケースの証明が不完全であったため、これは尚早であった。1994ゴーレンシュタイン、ライアン、が、改訂された分類の出版を開始した。2004アシュバッハーとが準薄群（すなわち偶数標数の体上の多くともランク2のリー型の群）について彼らの仕事を出版し、この時点で知られている分類の最後のギャップが埋められた。2008原田とソロモンが をカバーする、標準成分をもつ群についての分類の小さなギャップを埋めた。これは  のについての計算において、誤って証明に欠落が生じていたためである。2012とその共同研究者達が、証明支援言語Coqを用いたファイト・トンプソンの定理の機械的チェックの成功をアナウンスした。

 第2世代の分類 

 何故この証明はこんなにも長いのか？ 

ゴーレンシュタインは、なぜ分類の証明がコンパクトリー群の分類のように短くならないのかについて、幾つかの理由を議論している。

 最も明らかな理由は、単純群の一覧が完全に複雑だからである：すなわち、26の散在型単純群についてのように、どんな証明にも多くの特別なケースを考慮に入れなくてはならない。そのため、ディンキン図形を用いたコンパクトリー群のパラメーター化に似た、有限単純群のスッキリとした規則的な説明を誰も発見できていない。
 アティヤなどは、この分類は、幾何学的対象上の群の作用を構築し、それらの幾何学的構造を分類することにより単純化されるだろうと提案している。この問題は、単純群と関連するような幾何学的構造を発見するための簡単な方法を、誰も与えられるようにはなっていないということである。BN対のような幾何学的構造を発見することによりこの分類は機能する。しかしそれが叶うのは、有限単純群の構造のとても長く困難な解析の果てになるだろう。
 証明の簡略化ため、群の表現論をより一層利用しようという提案もある。しかし表現論は、群の部分群についてとてもタイトなコントロールを必要とすると言う問題がある。低い階数の群については、そのようなコントロールと表現論はとてもよく働く。しかし高い階数をもつ群については、表現論を用いて分類を単純化することには誰も成功しない。分類作業の初期においては、表現論を用いた努力も相当なされた。しかし高い階数においては、その試みは決して成功しなかった。

 分類の結論 
この説では、有限単純群の分類を用いて証明された結果を並べる。


 信号関手定理

 全ての群に関するシューア・ツァッセンハウスの定理（これはファイト・トンプソンの定理のみを用いて）
 1より多くの元をもつ有限集合上の可移置換群が、素数位数の固定点自由な元を持つこと。
 の分類
 の分類
 シムス予想 ()
  の解の個数における

 脚注 

 注釈 

 出典 

 参考文献 




 :en:Daniel Gorenstein (1985), "The Enormous Theorem", Scientific American, December 1, 1985, vol. 253, no. 6, pp. 104–115.

 Mark Ronan, Symmetry and the Monster, , Oxford University Press, 2006. (Concise introduction for lay reader)

 Marcus du Sautoy, Finding Moonshine, Fourth Estate, 2008,  (another introduction for the lay reader)
 Ron Solomon (1995) "On Finite Simple Groups and their Classification," Notices of the American Mathematical Society. (Not too technical and good on history)
  – article won Levi L. Conant prize for exposition






関連項目
 :en:O'Nan–Scott theorem

 外部リンク 



 ATLAS of Finite Group Representations. - 多くの有限単純群について、群の表現などの情報を集めた、検索可能なデータベース
 Elwes, Richard, "An enormous theorem: the classification of finite simple groups," Plus Magazine, Issue 41, December 2006. For laypeople.
 Madore, David (2003) Orders of nonabelian simple groups. - 位数  までの全ての非可換単純群のリストを含む。
 http://mathoverflow.net/questions/180355/in-what-sense-is-the-classification-of-all-finite-groups-impossible

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