完全微分

完全微分（かんぜんびぶん、）とは、関数の全微分として書ける1次の微分形式の事で、多様体論などの数学の分野では（1次の）完全形式と呼ばれる。本項では主に物理学に応用する事を想定して直観的に完全微分を説明する。より厳密な取り扱いは微分形式、外微分等の項目を参照されたい。

 定義と基本的な性質 

 定義 
線積分

の「中身」である

を1次の微分形式という：1次の微分形式の中で特に何らかの関数の全微分の形に書けるものを完全微分、そうでないものを不完全微分という：
なお、滑らかな関数に対し、全微分をの微分形という。
完全微分のポテンシャルは微分積分学の基本定理より定数項を除いて一意である。すなわち、ならを満たす定数が存在する。

以上の概念は数学と物理学で名称が異なるので、下記のように表でまとめた：
+(2)の形で書けるもの(1)で(2)の形に書けないもの(2)の形を得る微分操作数学1次の完全形式完全形式ではない1次の微分形式外微分物理完全微分不完全微分全微分

 座標変換に対する不変性 
本節では、ある微分形式が完全微分であるか否かは座標系によらない事、すなわち、ある座標系で完全微分/不完全微分なものはそれぞれ、別の座標系でも完全微分/不完全微分である事を示す。

そのためにまず一次形式の変数変換を定義する。上に（あるいはより一般にの開集合上に）2つの座標系、が定義されているとし、
  ...(A)
をで表記された微分形式とする。(A)のを（をの関数とみなしたときの）全微分

に置き換えた
  ...(B)
を(A)を座標系で表記したものとみなす。ここではを座標で表したものである。全微分は座標変換に対して自然に振る舞う：

よって特に完全微分の概念は座標変換に対して不変である：

上記の定理により、「この微分形式は完全微分である」というとき、どの座標系にとって完全微分であるかを問わなくて良い。後述するように完全微分の概念は熱力学に応用を持つが、熱力学で完全微分の議論をする際、それが座標に対してなのか座標に対してなのかを明示する必要がないのはこの定理があるためである。

 完全微分、不完全微分の表記 
数学では(1)の（完全微分もしくは不完全微分の）微分形式を

のようにやといったギリシア文字で表す事が多い。が完全微分であれば、

のようにポテンシャルの全微分としても表記できるが、が不完全微分の場合にはこれに類似した表記はない。

一方物理学では不完全微分に対する表記方法も用意している。物理学では(1)を与えられた曲線に沿って線積分した
  ...(3)

が何らかの物理量を表している事が多く、(1)の形の不完全微分を(3)のように線積分したものが物理量を表しているとき、(3)の「中身」である不完全形式を

のように表す。教科書によっては「」、「」と表記するものもある。

「」は全微分と区別するための「単なる記号」であり、完全微分と区別する以上の意味はなく、が具体的になにかの関数の全微分になっている事を意味するわけではない。実際、一般には(3)の線積分は経路に依存するため、物理量はに実数を対応させる関数にはならず、各経路に実数を対応させる関数になってしまう。

次節で述べるように、がに実数を対応させる関数になる必要十分条件は(1)の微分形式が完全微分な事である。

 完全微分と経路非依存性 

(1)の微分形式が完全微分なら、(3)の線積分が経路に依存しないので、基点を固定し、

という（経路に依存せず、基点と終点だけに依存する）物理量を定める事ができる。そして上記のを全微分したが(1)の微分形式に一致する。なお前述のように、が(1)の微分形式と一致するは定数項を除いて一意である。

 具体例 
熱力学ではは熱力学的な「平衡状態」の空間であり*、具体的には物理的な系の内部エネルギー、体積、物質量（＝モル数）といった変数で記述される空間である。

完全微分として表せる量としては温度、圧力、体積などがある。温度は平衡状態に実数を対応させる関数

として定式化できる量であり、したがってその全微分（これは定義により完全微分）の線積分

としても書ける。そしてこの線積分の結果は経路によらず、の終点のみで決まるである。

一方、不完全微分で記述される物理量の具体例としては力学的仕事がある。をの各点が表す平衡状態の圧力および体積とするとき、力学的仕事は不完全微分

を線積分した

の形で定式化される。よって上でどのような経路をたどったかによって力学的仕事は異なってしまう。

熱力学では平衡状態に実数を対応させる関数として定式化できる物理量を状態量と呼ぶ。よって温度は状態量だが力学的仕事は状態量ではない。上述の定理より、(1)の微分形式が完全微分か否かは、(3)の線積分の結果得られる物理量が状態量であるか否かを特徴づける事になる。


以上で説明したように、微分形式が完全微分か否かは物理的に重要な意味を持つため、本節では微分形式が完全微分であるための条件を見る。

を微分形式とするとき、が完全微分であれば、となるが存在し、を満たすので、となる。したがって
 for 
はが完全微分であるための必要条件となる。

逆に上記の条件が成立してもとなるがの全域で定義された（一価の）関数として存在するとは限らない。しかし上記の条件を満たせば局所的にはそのようなが存在する事が知られている：
右|サムネイル|微分形式は原点で（有限かつ微分可能な値としては）定義できない関係で、のポテンシャルを全域に拡張しようとすると、図のような多価関数になってしまう。実際、を極座標表示に変換すると、と書ける事から、のポテンシャルは点にを対応させる関数となるので、 ()分の多価性がある。
一般には上記の定義で局所的に存在を保証されたをの全域に拡張しようとすると、は多価関数になってしまう。

例えばが原点以外の2次元平面で定義されているときには原点の周りを「右回り」の曲線に沿ってを拡張したのか、「左回り」の曲線に沿ってを拡張したかによっての値は変わってしまう場合がある（右図）。同様にがトーラスであればトーラスの周りを「右回り」にを拡張したのか、「左回り」に拡張したかによっての値は変わってしまう場合がある。

が単連結であれば（あるいはより一般に1次のコホモロジー群がであれば）、このような多価性の問題は生じず、をの全域に拡張できる。詳細はド・ラームコホモロジーの項目を参照されたい。

 偏微分関係式 
三次元空間上の定義された滑らかな実数値関数により定義される曲面

を考える。上述の曲面上の点に対し、であれば、陰関数定理よりをについて解いた

をの近傍で定義できる。同様に、であれば、

もの近傍で定義可能である。

輪環関係式はとも呼ばれる。

相反関係式は変数をサイクリックに入れ替えた


も成立する。

 関連項目 

 微分小


 積分因子: 不完全方程式を完全微分方程式にするために掛ける
 状態量: 熱力学において微分が完全微分となるような物理量。

 脚注 

 注釈 

 出典 

参考文献
Perrot, P. (1998). A to Z of Thermodynamics. New York: Oxford University Press.
Zill, D. (1993). A First Course in Differential Equations, 5th Ed. Boston: PWS-Kent Publishing Company.

 外部リンク 
Exact and Inexact Differentials – University of Arizona
Exact and Inexact Differentials – University of Texas



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