レイリーの定理

数学におけるレイリーの定理とは、1より大きい無理数が、床関数によって自然数全体を互いに素な2つの集合に分ける方法を与える定理である。

1894年に言及した物理学者レイリー卿に由来する。

得られた集合の元を小さい順に並べたものをビーティ数列と呼ぶため、ビーティの定理と呼ばれることもある。

 概要 
1 より大きい実数  に対して、
(R1)  が無理数で、
ならば、
(R2) 床関数による表示の数列
, 
の項全体は、重複がなく自然数全体を取る。
（注1）集合の元に重複がないだけでなく、数列の項に重複がない。
（注2） ならば  である。
この定理は逆も成り立つWythoff の石取りゲーム 数学パズル・ゲームの広場佐藤文広（立教大学理学部）数理で読み解く石取りゲーム 連載◎第 12 回補足（2010年3月号）。

 例 
 は 1 より大きい無理数である。このとき、 より  となる。このとき、数列  の項を順に並べると、次の表のようになる。
+ による自然数の分割1234567891011121314151617181920…124578911121415161819212224252628…36101317202327303437404447515458616468…

 証明 
 とする。(R1) と (R2) は同値となるが、それを証明するために、まず必要性・十分性のどちらの議論にも必要なことを述べておく。

 を任意の自然数とする。
 …① を満たす自然数  が 個、
 …② を満たす自然数  が 個
であるとする。

①より

 …③
同様に
 …④
③ + ④ より
 …⑤

（(R1) ⇒ (R2) の証明）

 は無理数より、③, ④の等号は成り立たない。故に⑤,  より

 は整数より , ∴ 。

 の任意性より、を1から順番に考えていけば、数列  の項全体は、自然数全体を重複なく取るとわかる。

（(R2) ⇒ (R1) の証明）

(R2) より  …⑥

⑤, ⑥より

 とすると、はさみうちの原理より
 …⑦
 または  は有理数と仮定する。このとき⑦より  も  も有理数である。

（～ は自然数）とおくと、 となり項が重複しないことに矛盾。

故に  は無理数である。■

 出典・脚注 

 関連項目 
 ビーティ数列
 ワイソフのゲーム（必勝形がレイリーの定理より求められる）

 外部リンク 


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