ビーティ数列

数学におけるビーティ列（ビーティれつ、）とは、1 より大きい無理数の整数倍の床関数をとることによって得られる整数列である。ビーティ列の名称は、1926年にそれらについて著したに因む。

レイリー卿に名を因むレイリーの定理は、正整数全体において、あるビーティ列の補集合がそれ自身別の無理数で生成されるビーティ列となることを述べる。

ビーティ列はの生成にも用いられる。

 定義 
正の無理数  はビーティ列  を生成する。

 ならば  もまた 1 より大きい無理数で、これら2つは等式  を満たす。これらが生成する2つのビーティ列  はビーティ列の相補対を成す。ここに「補」("complementary") は任意の正整数がこれら2つの列のうちどちらかちょうど1つに属することを意味している。

 例 
（例1）

 を黄金比とすれば、 である。これに対するビーティ数列の内、 は下ワイソフ列
（）
であり、補列  は上ワイソフ列
 （）
である。これらの列はワイソフのゲームの必勝形を与え、の定義に用いられる。

（例2）

 とすると、 となる。これに対するビーティ数列は 
 （）;
 （）.

（例3）

 とすると、 となる。これに対するビーティ数列は
 （）;
 （）.

 歴史 
ビーティ列がその名で呼ばれるようになるのは、1926年に雑誌 において が提起した問題に由来する。この問題はおそらく、その雑誌に提案された中でも最も引用される問題の一つである。しかし、それよりもずっと以前の1894年に、同じ数列がレイリーの著書 The Theory of Soundの第二版で簡単に言及されている。

 レイリーの定理 

レイリーの定理（またはビーティの定理）とは、与えられた任意の無理数  に対し、無理数  が存在して、2つのビーティ列  は正整数全体の成す集合を分割し、各正整数はこの2つの整数列のうちちょうど一方に属するという定理である。

 性質 
 命題  となるための必要十分条件は

なることである。ここに、 は  の小数部分  である。
 証明：

さらに言えば、 なる条件とも同値である。
証明：

 スツルム文字列との関係 
無理数  に付随するビーティ列  の第一階差  は、字母集合  上のである。

 一般化 
はレイリーの定理を一般化するもので、整数函数およびその逆函数から定義されるより一般の列の対が、同じ整数全体の集合の分割性質を持つことを示す。

の定理は、正の実数  に対し  が全ての整数をちょうど一つずつ含むならば  であることを述べる。つまり、3つ以上のビーティ列の組に関するレイリーの定理と同等の定理は存在しない。

 出典 

 関連文献 

  Includes many references.

 外部リンク 

 Alexander Bogomolny, Beatty Sequences, Cut-the-knot

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