リーマン・ジーゲルの公式

数学におけるリーマン–ジーゲルの公式（リーマン・ジ－ゲルのこうしき、）はリーマンゼータ函数の「近似函数等式」（二つのディリクレ級数の和によるゼータ函数の近似）の誤差項に対するである。この公式は、 が1850年代からのベルンハルト・リーマンの未発表原稿において発見した。ジーゲルはこれをリーマン–ジーゲル積分公式（ゼータ函数の周回積分表示）から導いた。この積分公式はしばしばリーマン–ジーゲルの公式の値の計算に（ときには計算を劇的に速くすると組み合わせて）用いられる。臨界帯に沿って用いるとき、公式はハーディゼータ函数に対する公式となり、しばしば有用である。

 を非負整数とするとき、ゼータ函数は  に等しい（近似函数等式）。ただし、 は函数等式  に現れる乗因子で、周回積分  の積分路は  を基点（始点および終点）とし、絶対値高々  の特異点をすべて囲む。

この近似函数等式は誤差項の大きさに対する評価を与える  および  では、この誤差項  の  に関する負冪の級数としての漸近展開を与えるために、この積分にを適用して、リーマン–ジーゲルの公式を導出している。応用上、 はふつう臨界帯上にとり、正整数  は  の近くに取る。 はリーマン–ジーゲルの公式の誤差に関してよい評価を求めている。

 リーマンの積分公式 
リーマンは

を示した。ここで積分路は、 と  の間を通過する傾き  の直線である 。

彼はこれを使って、次に示すゼータ関数の積分公式を導き出した。


 関連項目 

 ガンマ関数

 オイラーの定数

 リーマンゼータ関数

 ハーディゼータ関数

 リーマン・ジーゲルのシータ関数

 参考文献 




  Reprinted in Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: Springer-Verlag, 1966.

 外部リンク 



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