ゲルマン行列

ゲルマン行列（ゲルマンぎょうれつ, ）とは、3次特殊ユニタリ群 の無限小変換の生成子をなす8つの複素行列の組G.B. Arfken, H.J. Weber and F.E. Harris (2012), chapter.4H. Georgi (1999), chapter.7-9。 に付随するリー代数の標準的な基底として、用いられる。ゲルマン行列はハドロンの分類において、対称性に基づくを提唱した米国の物理学者マレー・ゲルマンによって、導入されたMurray Gell-Mann,"Symmetries of Baryons and Mesons", Phys. Rev. 125, 1067 (1962) 。

定義と基本的な性質
次式で定義される8個の複素行列の組をゲルマン行列という。

ここで、 は部分空間に作用するパウリ行列  を

の形で含んでおり、ゲルマン行列はパウリ行列の一般化となっているパウリ行列は  の生成子であり、ゲルマン行列は  の生成子である。。

ゲルマン行列  はエルミート行列かつトレースはゼロとなる。

また、二つのゲルマン行列の積のトレースは正規化されており、次の関係式を満たすリー代数におけるカルタン計量に対応する。。

但し、はクロネッカーのデルタである。

交換関係・反交換関係
ゲルマン行列の交換関係  は次のようなゲルマン行列の線形結合で表される。

ここで、構造定数 は添え字  について、完全反対称な実係数である。 のうち、ゼロでないものは、 を満たすもので代表させて表すと、次のようになる。

一方、反交換関係  は次の形をとる。

ここで、 は添え字 について、完全対称な実係数である。 のうち、ゼロでないものを を満たすもので代表させて表すと、

また、とは互いに可換である。

SU(3)の生成子
3次特殊ユニタリ群 は行列式が１となるユニタリ行列から構成される。 は線形リー群であり、8個のゲルマン行列はその一次独立な生成子である。但し、物理学の慣習により、生成子はエルミート行列になるようにとるため、ゲルマン行列はそれ自身リー代数  の元ではなく、ゲルマン行列に  を乗じたものが  の元となる。通常、の生成子としては、 の代わりに を乗じた  が用いられる。

コンパクトで連結なリー群の任意の元はリー環の指数写像によって

の形で与えられる。

ゲルマン行列 、 または  の線形結合で張られる線形空間は交換子積

により、リー代数となり、その構造は

で定まる構造定数  で規定される は交換関係・反交換関係の節で述べたものと同一である。。このリー代数はコンパクト・リー代数であるため、 は添え字 について、完全反対称である。

の組は、

と交換子積について閉じており、に対応する部分リー代数をなす。これ以外にもいくつかの組はに対応する部分リー代数をなす。

このリー代数の全ての元と可換になるカシミヤ演算子は

で与えられる。

 脚注 

 参考文献 
 George B. Arfken, Hans J. Weber and Frank E. Harris, Mathematical Methods for Physicists (7th ed.) : Academic Press (2012). ISBN 978-0123846549
 H. Georgi, Lie Algebras in Particle Physics: from Isospin To Unified Theories (2nd ed.), Westview Press (1999). ISBN 978-0738202334.

 関連項目 
 対称性 (物理学)
 ハドロン物理学
 バリオン数, フレーバー, カラー
 SU(3)


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