指数閉体

数学における指数閉体（しすうへいたい、; 指数的に閉じた体） とは、 は順序指数体 —すなわち、 は順序体で、なおかつ「指数函数」と呼ばれる  の加法群から  の正元の成す乗法群の上への準同型  を持つ体（指数体）であって、 が順序写像となるもの— であって、その「指数函数」 が群同型かつ適当な自然数  に対して  を満足するものを言う。

 例 
 標準的な指数閉体の例は、実数全体の成す順序体である。ここで「指数函数」 としては、任意の  を底に持つ指数函数をとれる。

 性質 
 任意の指数閉体  は冪根（拡大）で閉じている (root-closed)。つまり、 の任意の正元は任意の自然数  に対する -乗根を  内に持つ、別な言い方をすれば  の正元全体の成す乗法群は可除である。これは  が成り立つことによる。
 その帰結として、任意の指数閉体はとなる。 
 その帰結として、任意の指数体は順序となる。
 必ずしもすべての実閉体が指数閉体となるわけではない。例えば、実代数的数体は指数閉でない。実際、実数体の任意の指数閉部分体  において「指数函数」 は適当な  に対して  の形にとれ、しかし  が代数的数ならばゲルフォント–シュナイダーの定理により  は代数的でない。
 その帰結として、指数閉体の成す類は（一階の理論で公理化可能）でないことが従う（これは、実数体と実代数的数体が、互いにな構造であることによる）。
 指数閉体の類はである。これは体  が指数閉となるための必要十分条件として「上への函数  で  となるものが存在すること」を挙げることができて、この  は一階公理化可能であることによる。

 参考文献 


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