演算子 (物理学)

物理学における演算子（えんざんし、operator）とは
ある物理状態の空間から別の物理状態の空間への関数のこと。
演算子が用いられている最も簡単な例として対称性があり、群の考え方を有益にしている。
このことから、演算子は古典力学において非常に有用なツールとなる。
量子力学では演算子はさらに重要で、理論の定式化において本質的な部分をなす。
数学では「作用素」という語が使われているものと同じものであるが、以下では物理の観点から述べる（英語では同じ語で operator である）。

古典力学
古典力学では粒子（または粒子系）の運動はラグランジアン やそれと等価であるハミルトニアン によって完全に決定される。これらは一般化座標q、一般化速度、共役運動量

についての関数である。

LやHが一般化座標qと無関係であるときは、qが変化してもLやHは変化しない。よってqが変化しても粒子のダイナミクスは変わらないままであり、これらの座標に共役な運動量は保存する。（これはネーターの定理の一例で、座標qについての運動の不変性は対称性となる。）古典力学における演算子は、これらの対称性と関連している。

より専門的には、Hが変換Gの群の作用下で不変であるとき、
.
Gの元は物理的な演算子で、物理状態と対応する。

古典力学での演算子一覧
{| class="wikitable"
|-
! 変換
! 演算子
! 位置
! 運動量
|-
| 並進対称性 
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|-
| 時間並進
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|-
| 回転不変性 
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|- 
| ガリレイ変換
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|-
| パリティ
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|-
| T対称性
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| 
|-
|}

ここで は、単位ベクトルと角度θで定義される回転行列。

 量子力学 

量子力学において、演算子とは、期待値を求める式、の時、を、期待値、に対応する演算子という。位置表示した波動関数に対して、位置演算子、運動量演算子である（は虚数単位、はディラック定数）。
運動量表示した波動関数に対して、運動量演算子、位置演算子である。
量子力学における演算子は必ずしも交換しない。たとえば上記の位置演算子と運動量演算子は非可換である：

 出典 

関連項目

有界線形作用素
表現論

Category:作用素論