懸垂 (位相幾何学)

位相幾何学において，位相空間  の懸垂（） とは， と単位区間  の積空間の商空間


である．したがって， は円柱に引き伸ばされ，そして両端が点に押しつぶされる． を端点の間に「ぶらさがっている」(suspended) と見る．懸垂を  上の2つの錐を base でもの（あるいは1つの錐の商）とも見られる．

連続写像  が与えられると， によって定義される写像  が存在する．これにより  は位相空間の圏から自身への関手となる．荒っぽく言えば， は空間の次元を 1 増やす：それは  に対して  次元球面を  次元球面に写す．

空間  は   に同相である，ただし  は2点離散空間である．

空間  は，下記の約懸垂と区別するために， の unreduced, unbased, or free suspension と呼ばれることもある．

懸垂はホモトピー群の準同型を構成するのに使うことができ，それにはを適用できる．ホモトピー論では，適切な意味で懸垂で保たれる現象はを作る．

約懸垂
 が（ を基点に持つ）基点付き空間のとき，ときどきより有用な，懸垂の変種がある． の約懸垂 (reduced suspension, based suspension)  とは，接着空間

である．これは  をとり，2端点を結ぶ線分  を一点に押しつぶすことと同値である． の基点は  の同値類である．

 の約懸垂は  の単位円  とのスマッシュ積に同相である

ことを示すことができる．

CW複体のような空間に対しては， の約懸垂は通常の懸垂とホモトピー同値である．

 は基点付き空間の圏から自身への関手を生じる．この関手の重要な性質は，（基点付き）空間  をその  に送る関手  の左随伴であることである．言い換えると，自然に

である，ただし  は基点を保つ連続写像全体である．この随伴はデカルト積上の写像をカリー化された形に送るの形と理解でき， の例である．これは懸垂と自由ループ空間に対しては成り立たない．

Desuspension

 は懸垂の部分的な逆を与える操作である．

関連項目
錐 (位相幾何学)

脚注

参考文献
Allen Hatcher, Algebraic topology. Cambridge University Presses, Cambridge, 2002. xii+544 pp. ISBN 0-521-79160-X and ISBN 0-521-79540-0

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