巨大な素数の一覧

『巨大な素数の一覧』（きょだいなそすうのいちらん、）とは、アメリカの数学者クリス・カルドウェル（Chris Caldwell）が管理するウェブサイト「The PrimePages」PrimePages: prime number research records and resultsにて公開されている、現在知られている中で最大の素数の上位ランキングを記した一覧である。

2024年10月の時点で「素数として確認された最大の数」は  である。この素数は41,024,320 桁の長さを持ち、2024年10月12日に Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) によって発表された。

ユークリッドにより素数が無数に存在することが証明されて以来、多くの数学者やアマチュア愛好家によってより大きな素数の探索が行われてきた。

発見済みの巨大な素数の多くがメルセンヌ数に属する。2024年10月現在までに発見された素数の大きさを比べると、上位7位までを全てメルセンヌ素数が占め、8位に初めてメルセンヌ数ではない素数が入る。

メルセンヌ数の素数判定を行うリュカ–レーマー・テストでは、高速フーリエ変換を応用した効率的な実装を計算機上で利用することが可能であるため、メルセンヌ数以外の素数判定よりも速度の上で有利という事情がある。

 最大記録 
2024年10月時点で素数であることが確認されている最大の数は  で表される数で、十進法表示では 41,024,320 桁の数である。この素数は2024年に GIMPS により発見された。

 懸賞金 
Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) では、彼らの無料ソフトウェアを入手し計算機上で実行してくれる参加者が、1億桁未満のメルセンヌ素数のいずれかを発見する毎に、3000米ドルの懸賞金を渡すと提示している。

電子フロンティア財団 (EFF) では大きな素数の新記録に対する懸賞金を何部門か提示している。1億桁以上の素数を最初に発見した者に与えられる予定の電子フロンティア財団からの懸賞金150,000米ドルに対し、GIMPS では賞金を参加者と分配する方向で調整中である。

100万桁を越える素数が1999年に発見されたときの懸賞金は50,000米ドルであったElectronic Frontier Foundation, Big Prime Nets Big Prize.。1000万桁を超える素数が2008年に発見されたときの懸賞金は100,000米ドルであり、さらに電子フロンティア財団からCooperative Computing Award賞が授与された。この業績は Time 誌が選ぶ「2008年 Top Invention」の29番目として紹介された。1億桁を越える素数の発見と10億桁を超える素数の発見に対する懸賞金はまだ提示されたままである。ちなみに50,000米ドルと100,000米ドルの懸賞金の受賞者は両方ともGIMPSの参加者である。

 歴史 
以下の表は、時代と共に次々と大きな素数が発見されてきた経緯を時系列で示したものである。ここでは  は指数  のメルセンヌ数とする。「発見された中で最大の素数」としての扱いを受けた最長期間記録の素数は、 の 524,287 である。この素数は144年間にわたって「最大の素数」の座を守り続けた。ただし、1456年以前の最長記録は不明。
素数の式十進法表記（50桁まで）桁数発見された年備考(巨大なメルセンヌ素数の発見経緯に関してはメルセンヌ数を参照)112～紀元前1650年古代エジプト人(Rhied Papyrus)（議論）There is no mentioning among the :en:ancient Egyptians of prime numbers, and they did not have any concept for prime numbers known today. In the :en:Rhind papyrus (1650 BC) the Egyptian fraction expansions have fairly different forms for primes and composites, so it may be argued that they knew about prime numbers. "The Egyptians used ($) in the table above for the first primes  = 3, 5, 7, or 11 (also for  = 23). Here is another intriguing observation: That the Egyptians stopped the use of ($) at 11 suggests they understood (at least some parts of) Eratosthenes's Sieve 2000 years before Eratosthenes 'discovered' it." The Rhind 2/ Table [Retrieved 2012-11-11].71～紀元前400年フィロラオスにより  は素数と認識されていた。1273～紀元前300年ユークリッドにより  と  は素数と認識されていたNicomachus' "Introduction to Arithmetic"  translated by Martin Luther D'Ooge (p.52)。8,19141456年発見者不明131,07161460年発見者不明524,28761588年が発見6,700,41771732年レオンハルト・オイラーが発見2,147,483,647101772年レオンハルト・オイラーが発見67,280,421,310,721141855年トーマス・クラウゼンが発見170,141,183,460,469,231,731,687,303,715,884,105,727391876年エドゥアール・リュカが発見（手計算で素数であることが確かめられた最大の素数）20,988,936,657,440,586,486,151,264,256,610,222,593,863,921441951年Aimé Ferrierが発見（電子計算機を用いずに導かれた最大の素数）791951年ケンブリッジ大学の電子計算機 EDSAC を使用 1571952年1831952年3861952年6641952年6871952年9691957年1,3321961年2,9171963年2,9931963年3,3761963年6,0021971年米国のブライアント・タッカーマン博士がIBM360/91型コンピュータで39分26秒4かけて計算6,5331978年6,9871979年13,3951979年カリフォルニア大学ローレンス・リバモア研究所でクレイ・ワン・コンピュータを2か月使って計算25,9621982年39,7511983年65,0501985年シェブロン・ジオサイエンセス社がCray X-MP/24コンピュータを使って計算65,0871989年227,8321992年英国オクソンのAEAテクノロジーズ・ハーウェル研究所でCRAY-2スーパーコンピュータを使って計算258,7161994年378,6321996年420,9211996年895,9321997年909,5261998年2,098,9601999年4,053,9462001年6,320,4302003年7,235,7332004年7,816,2302005年9,152,0522005年9,808,3582006年12,978,1892008年17,425,1702013年22,338,6182016年23,249,4252017年24,862,0482018年41,024,3202024年
横軸：西暦
縦軸：桁数の対数スケール
：円周率近似値の桁数
：最大素数の桁数

 上位20位の大きな素数 
順位素数発見日桁数出典備考12024年41,024,32022018年24,862,04832017年23,249,42542016年22,338,61852013年17,425,17062008年12,978,18972009年12,837,06482023年11,981,518 以外の式で導かれた、最大の素数92023年11,887,192102008年11,185,272112006年9,808,358122016年9,383,761132005年9,152,052142024年8,238,312152005年7,816,230162024年7,409,172172004年7,235,733182024年7,052,391192024年6,904,556202024年6,653,780

 素数探索の有力候補・手がかりに関する項目 
メルセンヌ数
カレン数
ウッダル数
シェルピンスキー数

プロス数
ソフィー・ジェルマン素数
フェルマー数
サービト数

 主な素数探索プロジェクト 
PrimeGrid（探索対象：ウッダル数、カレン数、その他）
GIMPS（探索対象：メルセンヌ数）
Riesel Sieve（終了）（探索対象：リーゼル数に伴う素数）

 関連項目 
素数
素数の一覧
素数判定
タイタニック素数
巨大素数
メガ素数
巨大数

 注釈 

 数値 

 出典 

 外部リンク 
PrimePage Primes: The Largest Known Primes
GIMPS Discovers Largest Known Prime Number: 2-1

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