射影的対象

圏論において，射影的対象（しゃえいてきたいしょう，）の概念は射影的加群の概念を一般化する．

圏  の対象  が射影的とは，hom関手

が全射を保つことをいう．つまり，任意の射  は任意の全射  を通して分解する．

 をアーベル圏とする．この文脈では，対象  が射影的対象であるとは，

が完全関手であることをいう．ただし  はアーベル群の圏である．

射影的対象の双対概念は単射的対象の概念である：アーベル圏  の対象  が単射的であるとは， から  への関手  が完全であることをいう．

充分射影的対象をもつ
 をアーベル圏とする． が充分射影的対象をもつ（Have Enough Projectives）とは， の任意の対象  に対して， の射影的対象  と完全列

が存在することをいう．言い換えると，射  は全射である．

例
 を  をもつ環とする．左  加群の圏  を考える． はアーベル圏である． における射影的対象はちょうど射影左  加群である．なので  はそれ自身  の射影的対象である．双対的に， における単射的対象はちょうど単射的左  加群である．

左（右） 加群の圏は充分射影的対象を持つ．なぜならば，任意の左（右） 加群  に対して， として  の生成集合 （ でよい）によって生成される自由（したがって射影） 加群をとることができるからである．すると 標準射影  が所望の全射である．

参考文献

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Category:対象 (圏論)
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