部分対象

圏論という数学の分野において，部分対象（ぶぶんたいしょう，）は，大まかに言って，同じ圏の別の対象の中にいる対象である．この概念は，集合論における部分集合，群論における部分群，などの概念の一般化であるMac Lane, p. 126．対象の詳細な構造は圏論では重要でないから，部分対象の定義は，元を使わず，対象が別の対象の中にどのようにいるかを記述する射に依る．

部分対象の双対概念は商対象（しょうたいしょう，）である．これは商集合，商群，商位相空間などの概念を一般化する．

定義
詳しくは， をある圏の対象とする．余域を  とする2つの単射

が与えられたとき， とは， が  こととする，つまり，ある  が存在して  とする．次で定義される二項関係 :

 ⇔  かつ 

は余域を  とする単射上の同値関係であり，これらの単射の対応する同値類は  の部分対象 (subobject) である．2つの単射が  の同じ部分対象を表すとき，それらの始域は同型である． を余域とする単射の集まりに関係  をいれたものは前順序をなすが，部分対象の定義は  の部分対象の集まりが半順序であることを保証する．（ある対象の部分対象の集まりは実は真クラスかもしれない；なのでこの議論は少々不正確である．任意の対象の部分対象の集まりが集合であるとき，圏は well-powered である．）

商対象という双対概念を得るには，単射を全射に置き換え射の向きを逆にすればよい．

例
圏  において， の部分対象は  の部分集合  に対応する，あるいは正確には，像がちょうど  であるような  に equipotent な集合からのすべての写像の集まりである． の集合の部分対象の半順序はちょうどその部分集合束である．類似の結果は  やいくつかの他の圏でも成り立つ．

半順序クラス  が与えられたとき， の元を対象とし，1つの対象（元）が別の対象以下のときに前者から後者にただ1つの射があるような圏を作れる． が最大元を持てば，この最大限の部分対象半順序は  自身である．理由の1つとしては，そのような圏の全ての射は単射であるからである．

終対象の部分対象はと呼ばれる．

関連項目

脚注

参考文献



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