忠実表現

数学、特に表現論という抽象代数学の一分野において、群  のベクトル空間  上における忠実表現（ちゅうじつひょうげん、） とは、 の異なる元  が  の異なる線型写像  に対応する線型表現のことである。

より抽象的な言葉では、これは群準同型

が単射であることを意味する。あるいは核  が自明であると言い換えることもできる。

たとえば正則表現は忠実表現のひとつである。

注意： の体  上の表現は事実上  加群と同じである（ は群  の群環を表す）が、 の忠実表現が群環の忠実加群であるとは限らない。実は任意の忠実  加群は  の忠実表現であるが、逆は成り立たない。例えば対称群  の置換行列による  次元の自然表現を考えると、これは確かに忠実であるが、群の位数は  である一方  行列の全体は  次元のベクトル空間をなすので、 が  以上であれば、次元勘定により（ だから）置換行列の間に線型独立性が生じなければならず、したがって群環上の加群は忠実ではない。

 性質 
有限群  の標数  の代数閉体  上の表現  が（表現として）忠実であることと  の任意の既約表現が十分大きい  に対して （表現  の  次対称冪）の部分表現として生じることは同値である。また、 が（表現として）忠実であることと  の任意の既約表現が十分大きい  に対して

（表現  の  次テンソル冪）の部分表現として生じることは同値である。

 参考文献 

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