単射的対象

数学，特に圏論において，単射的対象（たんしゃてきたいしょう，, あるいは移入的対象，入射的対象）の概念は単射的加群の概念の一般化である．この概念はホモトピー論とモデル圏の理論において重要である．双対概念は射影的対象である．

定義

 を圏とし  を  の射のあるクラスとする．

 の対象  が -単射的とは， の任意の射  と任意の射  に対して，ある射  が存在して  （の始域）を拡張する，すなわち  となることをいう．

上の定義における射  は  と  によって一意的に決定されることは要求されない．

局所的に小さい圏では，それはhom関手  が -射を全射に送ることと同値である．

 の古典的な選択は単射全体のクラスであり，この場合，単射的対象という表現が使われる．

アーベル圏の場合
アーベル圏の場合が単射性の概念のもともとの枠組みであった（そして今でも最も重要なものである）． がアーベル圏のとき， の対象  が単射的であるとは，hom関手  が完全であることをいう．

を  における完全列であって  が単射的対象であるものとする．すると列は分裂し， が単射的であることと  が単射的であることは同値である証明：列は分裂するから  は  と  の直和である．．

充分単射的対象をもつ

 を圏とし， を  の射のあるクラスとする；圏  が充分  単射的対象をもつ (have enough  injectives) とは， のすべての対象  に対して， からある -単射的対象へのある  射が存在することをいう．

単射的包絡

 における  射  が  本質的 (-essential) であるとは，任意の射  に対して，合成  が  に属するのは  が  に属するときに限ることをいう． が単射全体のクラスであるとき， はと呼ばれる．

 が  本質的  射であって，始域が , 余域が  単射的な  であるとき， は  の  単射的包絡 (-injective hull) と呼ばれる．するとこの  単射的包絡は，標準的でない同型の違いを除いて一意的である．

例

アーベル群と群準同型の圏において，単射的対象は可除群である．
加群と加群準同型の圏  において，単射的対象は単射的加群である． は単射的包絡をもつ（したがって  は充分単射的対象をもつ）．
距離空間との圏  において，単射的対象はであり，距離空間の単射的包絡はそのである．
 空間と連続写像の圏において，単射的対象は必ず連続束上のスコット位相であり，したがってそれは必ずかつ局所コンパクトである．
の圏において，anodyne extensions のクラスに関する単射的対象はである．
半順序集合と単調写像の圏において，完備束はに対する単射的対象をなし，半順序集合の はその単射的包絡である．
より一般の圏，例えば関手圏や，環付き空間  上の  加群の層の圏においても単射的対象を考えることができる．

関連項目
射影的対象

脚注

参考文献
J. Rosicky, Injectivity and accessible categories
F. Cagliari and S. Montovani, T0-reflection and injective hulls of fibre spaces

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