胡蝶定理

胡蝶定理（こちょうていり、）は、ユークリッド幾何学における古典的な結果である。ウィリアム・ウォレスによって初めて提起されたとされる。この定理は次のように述べられるJohnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).。

 証明 
形式的な証明を以下に述べる。

,  をそれぞれ  から ,  に下ろした垂線とし、同様に ,  をそれぞれ  から ,  に下ろした垂線とする。

 かつ  （対頂角）であるから  と  は相似。従って次式が成り立つ。

同様に  と  も相似であるので、次式が成り立つ。

 かつ  （円周角の定理） であるから  と  は相似。従って次式が成り立つ。

同様に  と  も相似であるので、次式が成り立つ。

以上の式より


 　（∵方べきの定理）


となり、ゆえに

であるから、 即ち  が  の中点であることが従う。

このほか射影幾何学を用いた証明も存在する, problem 8.。

 一般化 
イーゴリ・シャリーギンは次の一般化を示した 146.。
円の弦上に、を満たすように点を取る。それぞれを通る弦を描く。それぞれ弦がと交わる点をとすれば、が成立する。

 脚注 

 外部リンク 


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