不足角

不足角（ふそくかく、）とは、ユークリッド幾何学においては、多面体の頂点において、その周りの角度の360°に対する不足分を言う。

また、それとは少し異なる用法として、非ユークリッド平面上の多角形に対して定義されるものがある。

 例 

全ての面が正五角形からなる正十二面体を考える。各頂点においては、正五角形の内角が3つ集まっており、正五角形の内角は108°だから、不足角は 360° − (108° + 108° + 108°) = 36° である。また頂点は全部で20個あるから、不足角の総和は 36° × 20 = 720° である。

他の正多面体についても同様の手順で計算すれば、以下の表を得る。

正多面体頂点数1つの頂点に集まる図形不足角不足角の総和正四面体43つの正三角形正八面体64つの正三角形立方体83つの正方形正二十面体125つの正三角形正十二面体203つの正五角形

 デカルトの定理 

不足角におけるデカルトの定理（）とは、球と位相同型な、つまり穴のない多面体において、不足角の総和は常に 720°（）に等しいという定理である（上表も参照）Descartes, René, Progymnasmata de solidorum elementis, in Oeuvres de Descartes, vol. X, pp. 265–276。

より一般には、多面体のオイラー標数 （ここで g は「穴の数」を表す）を用いて、不足角の総和は  で表される。

これはガウス・ボネの定理においてリーマン多様体が多面体であるときの特殊なケースであり、不足角はその頂点におけるガウス曲率に一致する。このとき多面体中のガウス曲率は頂点に集中しており、辺や面におけるガウス曲率は 0 となっている。

 非ユークリッド幾何学における不足角 

双曲三角形において、その内角の総和を A とすれば、不足角は  で表される。

特筆すべきこととして、これらの三角形の面積はその全不足角球面三角形の場合は球過量 (Spherical Excess) と称され、この量が球面三角形の面積に関係している事実はが彼の著書 Invention nouvelle en l'algebre において述べている。に比例することが示される。

 関連項目 

 ガウス・ボネの定理
 球面三角法
 球面幾何学

脚注

関連文献
Richeson, D.; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology, Princeton (2008), Pages 220–225.
デビッド・S.リッチェソン『世界で二番目に美しい数式（上）』『同（下）』根上生也訳、岩波書店、2014年、頁未確認。

外部リンク

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