ディリクレ積分

ディリクレ積分（ディリクレせきぶん、）とは、広義積分

のことである。これは /2 に収束することが知られている。これは絶対収束ではなく、ルベーグ積分では可積分でない。ディリクレ積分の名は数学者ペーター・グスタフ・ディリクレから取られている。

この項では、この事実を複素積分に立脚して証明する。

証明
f(z) = eiz/z の積分を考える。0 < r < R をとり、図のように経路 Cr, CR を定める（赤領域を左に見るように進む向きを正とする）。f は赤領域で正則であるから、コーシーの積分定理により

となる。

まず、左辺第2項と第4項はオイラーの公式により

次にについての周回積分はでゼロとなることを示す。(ジョルダンの補題)

置換  により、

また、についての周回積分はでとなることを示す。（留数定理）

 のとき、指数関数  の定義により、

 とおくと、

ここで、置換  により、

次に、  を示そう。g は整関数、とくにコンパクト集合  で連続だから、ワイエルシュトラスの最大値定理を使うと、

 を十分小さくとれば、経路  （の像）は K に含まれるから、

以上より、(1) において  とすれば、(2)～(4)より

すなわち

が従う。

 脚注 

参考文献


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