ウォリス積分

数学において、ウォリス積分とは、ジョン・ウォリスによって導入された積分である。

 定義と証明 
 定義 
ウォリス積分 （m は 0 以上の整数）は

で定義される。部分積分によって

すなわち漸化式

が得られる。これより m の偶奇に応じて  の値が求まる。

ただしは二重階乗である。

 ウォリス積分におけるウォリスの公式 

m = 2n を代入すると先述の  の求値より

 スターリングの公式との関係 

スターリングの公式：

はウォリスの公式の拡張である。実際、スターリングの公式を仮定し  とおくと、

より

が得られる。

 応用 
ウォリスの公式を用いてガウス積分を求めることができる。

またカタラン数  にも二項係数が現れるため、ウォリスの公式より評価できる：

 関連項目 
ジョン・ウォリス
スターリングの近似
ガウス積分
部分積分
漸化式

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