キーペルト双曲線

三角形におけるキーペルト双曲線（キーペルトそうきょくせん、Kiepert Hyperbola）とは、三角形の3つの頂点と重心と垂心を通る双曲線である。また外接円錐曲線の一種である。名前はドイツの数学者であるルードヴィヒ・キーペルトに由来している。

 キーペルト点と存在証明 
キーペルト点は、以下の手順で作図される点である。
 三角形  に対し、  となる点  をとる。
  が正の時は  は  に対し  と逆側に取る。  が負の時は  は  に対し  と同じ側に取る。
 同様に ,  をとる。
 , ,  の交点  がキーペルト点である。
キーペルト点の軌跡がキーペルト双曲線となる。

3線が1点で交わることは以下のように証明できる。
  と  が交わる点を  とする。
点  の定義より、 は  となる二等辺三角形である。三角形の面積公式  を用いると、 と  の面積は以下のように表せる。

3直線が1点で交わることは、チェバの定理の逆を用いて証明できる。

直線  と辺  の交点を  とする。点  と  は直線  上にあるため、2つの三角形  と  の面積比は、底辺をそれぞれ ,  と見なした際の高さの比に依存せず、線分  と  の比と関連付けられる。この時、点  を頂点とする  と  の面積比は、共通の高さを持つため底辺の比に等しく  となる。同様に、点  を頂点とする  と  の面積比も  となる。

直線  と辺  の交点を  とする。頂点  を共有する  と  の面積の比は、それらの底辺の長さの比に等しい。同様に、頂点  を共有する  と  の面積比も底辺の比に等しい。

したがって、これらの面積の差を用いても比は変わらないため、以下の関係が成り立つこの性質は比の性質（合除比の理）から導かれる。すなわち、 のとき  が成り立つ。。

ここで、三角形の面積公式  を用いると、


点 x の定義より △BCx は二等辺三角形であるため、 である。よって、面積比は以下のようになる。

同様に、直線 By と辺 CA の交点を E、直線 Cz と辺 AB の交点を F とすると、


となる。これらの比の積を計算すると、

となり、チェバの定理の逆によって3直線 , , （すなわち , , ）は1点で交わる。

 性質 
上述のチェバの定理の証明から、キーペルト点  の重心座標は以下の式で与えられる。

ここで、, ,  である。

キーペルト双曲線の重心座標による式は以下のようになる。
 .
キーペルト双曲線の2本の漸近線は、ブロカール軸と外接円との2つの交点におけるシムソン線である。これらの漸近線は互いに直交し、その交点は九点円上にある。この点の重心座標は以下のように表される。
.

三角形が正三角形の場合、であるため、キーペルト双曲線の重心座標による方程式は、すなわちとなる。これは特定の曲線を表さず、この方程式は平面上の任意の点によって満たされるため、双曲線は不定となり、平面全体に退化すると解釈される。

 線上の主な点 
以下の点はキーペルト双曲線上にある。
 3つの頂点
 重心
 垂心
 フェルマー点
 ナポレオン点
 中点三角形の内心(シュピーカー点)
 第三ブロカール点
 タリー点
 ベクタン点

 脚注 

 関連項目 

 接円錐曲線
 キーペルト円錐曲線

 外部リンク 

 https://www.geogebra.org/m/vsezjdu5 - GeoGebraによるキーベルト双曲線のインタラクティブな図

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