ZFCから独立な命題の一覧

本項では、ZFC集合論において決定不能であることが証明されている命題の一覧を掲げる。それらの命題は（ZFCが無矛盾であれば）ZFCの公理からは証明することも反証することもできない。以下では「ZFCが無矛盾であれば」などの但し書きは割愛する。

公理的集合論の命題
サムネイル|540x540ピクセル|ZFCから独立な数学的命題の含意関係

一般の例
ZFCの無矛盾性 - 1931年ゲーデルが、ZFCでは証明できない命題が存在することを初めて示した（ゲーデルの不完全性定理）。とくにZFCの無矛盾性それ自体がZFCで決定不能であることを証明した。
 連続体仮説 (CH) - 1940年、ゲーデルはCHが成り立つZFCのモデルを構築することにより、CHがZFCで反証できないことを示した"The Consistency of the Continuum Hypothesis" (1940)。その後1963年、コーエンが、強制法という手法を用いてCHの否定が成り立つZFCのモデルを示し、CHがZFCで証明できないことを示した。
 一般連続体仮説 (GCH)
 逐次積分可能だが積分順序交換できない2変数の有界関数の存在
  (V = L)
 ダイヤモンド原理 (◊)
 マーティンの公理 (MA)
 MA + ¬CH - ソロヴェイおよびテネンバウムによる。
  ならば 

巨大基数公理
一般的に、巨大基数と呼ばれる基数の存在はZFCでは決定することができない。
 到達不能基数の存在
 マーロ基数の存在
 可測基数の存在
 超コンパクト基数の存在

その他の分野の命題

 ボレル予想 - 任意の強零集合は可算であるという予想。
 任意の -稠密な実数の部分集合が順序同型であるかどうか - 実数の部分集合 X が-稠密であるとは、任意の開区間が X の元を個以上含むことを言うBaumgartner, J., All -dense sets of reals can be isomorphic, Fund. Math. 79, pp.101 -- 106, 1973。
 ススリン線の存在(SH)  - ダイヤモンド原理から従うことが知られているBaumgartner, J., J. Malitz, and W. Reiehart, Embedding trees in the rationals, Proc. Nat. Acad. Science, U.S.A., 67, pp. 1746 -- 1753, 1970 。逆にMA + ¬CHからはススリン木が存在しないことが従う Shelah, S., Free limits of forcing and more on Aronszajn trees, Israel Journal of Mathematics, 40, pp. 1 -- 32, 1971。 また、CHを仮定してもススリン木の存在は証明できないDevlin, K., and H. Johnsbraten, The Souslin Problem, Lecture Notes on Mathematics 405, Springer, 1974。
クレパ木の存在(KH) - ただし到達不能基数の存在が無矛盾であるときSilver, J., The independence of Kurepa's conjecture and two-cardinal conjectures in model theory, in Axiomatic Set Theory, Proc. Symp, in Pure Mathematics (13) pp. 383 - 390, 1967。
 フビニの定理の拡張
 ある種のディオファントス方程式の解の存在性（ヒルベルトの第10問題）
 群論における(シェラハ、1974年) - A を任意のアーベル群とするとき、Ext1(A, Z) = 0 ならば A は自由アーベル群か？
 バナッハ環に対するカプランスキー予想：コンパクトハウスドルフ空間X上の複素数値連続関数のなす環C(X)からバナッハ環へのC代数準同型は常に連続であるという予想
 実数体上の3変数多項式環 A = R[x,y,z] の商体をM = R(x,y,z)とする. このときMのA加群としての射影次元 は 2または3であるが, それが2であることは ZFC とは独立である。更にその射影次元が2である事と連続体仮説は同値である.

 体の可算直積の大局次元 が2であることと連続体仮説は同値である.

脚注

外部リンク
 What are some reasonable-sounding statements that are independent of ZFC?, mathoverflow.net

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