強圧的函数

数学において強圧的函数（きょうあつてきかんすう、）とは、それが定義されている空間の極限において「急速に成長する」函数である。文脈によって異なる定義が存在する。

 強圧的ベクトル場 

ベクトル場 f : Rn → Rn が強圧的（coercive）であるとは、

が成り立つことをいう。ここで "" は通常のドット積で、 はベクトル x の通常のユークリッドノルムである。

コーシー＝シュワルツの不等式より、 に対して  が成り立つことから、強圧的ベクトル場は特にノルム強圧的でもある。しかし、ノルム強圧的な写像 f : Rn → Rn は必ずしも強圧的ベクトル場ではない。例えば、90° の回転 f : R2 → R2, f(x) = (-x2, x1) はノルム強圧的であるが、すべての  に対して  であるため、強圧的ベクトル場ではない。

 強圧的な作用素と形式 

 を実ヒルベルト空間とするとき、自己共役作用素  が強圧的（coercive）であるとは、ある定数  が存在して



が  内のすべての  に対して成り立つことをいう。

双線型形式  が強圧的であるとは、ある定数  が存在して

が  内のすべての  に対して成り立つことをいう。

リースの表現定理より、任意の対称（ 内のすべての  に対して ）、連続（ 内のすべての  とある定数  に対して ）かつ強圧的な双線型形式  は、ある自己共役作用素  に対して次の表現を持つことが従う：



この作用素  は強圧的作用素であることが分かる。また逆に、強圧的な自己共役作用素  が与えられたとき、上式で定義される双線型形式  は強圧的である。

任意の自己共役作用素  が強圧的作用素であるための必要十分条件は、それが（ドット積をより一般の内積に置き換える必要があるが、ベクトル場の強圧性の意味において）強圧的な写像であることである。ベクトル場、作用素および双線型形式に対する強圧性の定義は、密接に関連しており、互いに矛盾しないものである。

 ノルム強圧的写像 

二つのノルムベクトル空間  と  の間の写像  がノルム強圧的（norm-coercive）であるとは

が成立することをいう。より一般に、二つの位相空間  と  の間の函数  が強圧的であるとは、 のすべてのコンパクト部分集合  に対して、 のあるコンパクト部分集合  が存在して、次が成り立つことをいう。

強圧的写像に対応する全単射固有写像の合成は、強圧的である。

（拡大実数値）強圧的函数 

（拡大実数値）函数

が強圧的であるとは、次が成り立つことをいう。

実数値強圧的函数  は特にノルム強圧的である。しかし、ノルム強圧的函数  は必ずしも強圧的ではない。例えば、 上の恒等函数はノルム強圧的であるが、強圧的ではない。

放射非有界函数の記事も参照されたい。

 参考文献 




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