最小の非可算順序数

最小の非可算順序数（）は、全ての可算順序数のみを元とする極限順序数である。多くの場合において  と表記されるが、ときに  とも表記される。非可算集合であり、その濃度は最小の非可算アレフ数  に等しい。 の存在は、選択公理によらずに定まる（ハルトークス数を参照）。

位相的性質
任意の順序数は、順序位相の入った位相空間と捉えることができる。位相空間 [0,ω1) および [0,ω1] は、いくつかの興味深い性質を持っている。

 [0,ω1) は点列コンパクトであるがコンパクトではない。任意の距離空間においてその二つは同値であるから、[0,ω1) は距離化不可能である。
 可算コンパクトではあるため、 [0,ω1) はコンパクトでない可算コンパクト空間の例になっている。
 [0,ω1) は第一可算公理を満たすが可分でも第二可算的でもない。
 ω1 は[0,ω1) の極限点であるが、 [0,ω1) 内の可算な点列で ω1 に収束するものは存在しない。なぜなら、可算集合の可算和はまた可算集合になるからである。よって [0, ω1] においてω1 は可算な基本近傍系を持てず、[0, ω1] は第一可算公理を満たさない。
 ω1 から実数  への任意の連続関数 f は、ある順序数から先が定数関数になる。即ち、あると実数が存在して、 ならば となる。

他にも ω1 は、長い直線やTychonoff plankといった、位相空間論における重要な反例を作り出すために用いられている。

連続体仮説

連続体仮説とは、「連続体濃度と  の濃度は等しい」という命題であり、19世紀にゲオルク・カントールによって仮説として提唱された。現在では、ZFCにおいて証明も反証もできないことが分かっている。この仮説との関連で、 のべき集合  の構造も研究されている。

関連項目
 非可算集合
 極限順序数
 正則基数
 ボレル集合

出典

参考文献
 Thomas Jech, Set Theory, 3rd millennium ed., 2003, Springer Monographs in Mathematics, Springer, ISBN 3-540-44085-2.
 Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, New York, 1978. Reprinted by Dover Publications, New York, 1995. ISBN 0-486-68735-X (Dover edition).
 志賀浩二 『無限からの光芒―ポーランド学派の数学者たち』1988、日本評論社 ISBN 978-4535781610

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