和分差分学

数学の一部門としての差分法（さぶんほう、）あるいは和分差分学（わぶんさぶんがく、）は、（微分法および積分法を柱とする）微分積分学の離散版にあたる。微分積分学が（極限の概念を定式化し得る）連続的な空間上の函数（特に実数直線上で定義された函数）に興味が持たれるのに対して、和分差分学では離散的な空間、特に整数全体の成す集合  上で定義された函数（すなわち数列）に注目する。差分法は級数の計算にも応用される。

 差分および和分 
よく知られた連続的な微分法は

で定義される微分作用素  に基づくのに対し、離散的な差分法は

で定義される差分作用素  に基づく。

逆演算は、連続的な微分積分学における不定積分に対応するものとして、離散的な不定和分  が差分作用素に対して

を満足するものとして定義される。ただし、 は連続的な微分積分学における  に対する  と同様の意味で（ここでは） に対する符牒である。また  は整数  に対して定数となるような任意の函数 () とする。

定積分に相当する定和分は、上の限界を固定しない通常の和  を用いれば

なる関係にある。

 性質 
 固有函数 

微分作用素の作用の下で不変な函数が  を底とする指数函数であったことに対応する事実として、差分作用素の作用の下では を底とする指数函数が不変である。これを確かめるのは容易い。

 階乗冪函数 
下降階乗に関しては単純な規則が存在する。任意の整数  に対して

と書くことにすれば、和分差分学における振る舞いを


のように表すことができる。ここに  は -番目の調和数である。この意味で、調和数は自然対数の離散版となるものということになる。 なることも用いた。

 積の差分法則と部分和分 
連続的な微分積分学における積の微分法則に対応する、差分に関する積の法則が

なる形で成り立つ。シフト作用素  を  で定めれば、短く

と書くこともできる。これを逆に用いて、連続的な部分積分に対応する部分和分の式

が得られる。

 注 

 参考文献 
 A. O. Gelfond: Differenzenrechnung. Dt. Verlag d. Wiss., Berlin, 1958
 Ronald Graham u. a.: Concrete Mathematics. Addison-Wesley, Upper Saddle River 2008, ISBN 0-201-55802-5
 N. E. Nörlund: Vorlesungen über Differenzenrechnung. Springer-Verlag, Berlin, 1924; Reprint Chelsea, New York, 1954

 関連文献 
 広田良吾：「差分学入門：情報化時代の微積分学」、培風館：ISBN 978-4-56301482-7 (1998年2月28日)。
 広田良吾、高橋大輔：「差分と超離散」、共立出版、ISBN 978-4-320-01729-0 (2003年2月1日)。
 広田良吾：「差分方程式講義：連続より離散へ」、サイエンス社、ISBN 978-4-7819-9904-3 (2016年4月25日)。
 西岡斉治：「代数的差分方程式：差分体の応用」、数学書房、ISBN 978-4-903342-44-3 (2019年1月15日)。

 関連項目 
 有限差分

 外部リンク 
  (PDF)
  (PDF)
 Brian Hamrick: Discrete Calculus (PDF, 70 KB)

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