文様群

文様群（もんようぐん、）もしくは壁紙群（かべがみぐん）は、パターンの対称性に基づく、2次元内での繰り返しパターンに関する数学的な分類である。このようなパターンは、建築や美術で頻繁に使用され、そのパターンは17種に大別される。

 歴史 
1891年にエヴグラフ・フェドロフによって2次元空間内での繰り返しパターンが17種に大別されることの証明がなされ、1924年ジョージ・ポリアによっても独立に証明されたGeorge Pólya (1924) "Über die Analogie der Kristallsymmetrie in der Ebene," Zeitschrift für Kristallographie, vol. 60, pages 278–282.。

卜部東介（1953–2011、当時茨城大学）が、2002年に 利根安見子、近藤誠造（京都府立大学）の協力の下、日本の伝統文様には17種類の文様群全てが含まれていることをインターネット上に発表した。

 導入 
文様群は、対称性によるパターン分類であるため、色・形状・サイズが大きく違う場合でも、同じグループに分類される。

 対称性 
17種のパターンは対称性の組合せからなっている。
 並進対称性：Translations
 回転（60°、 90°、120°、180°）：Rotations
 鏡映（鏡像対称性）：mirror isometries
 映進（並進と鏡映の組合せ）：Glide reflections

 文様群の表記 
 結晶学記法 
結晶は3次元空間の空間群で属するが、2次元の文様群を表記することは可能である。
基本胞（primitive cell）の場合P、中心胞 (centered cell) の場合はCが頭文字となる。
回転対称数：360°/n 回
鏡映：鏡映対称性が組み合わさった場合は、mirror isometriesからm、鏡映していない場合は1（もしくは省略）
映進：映進対称性が組み合わさった場合は、Glide reflectionsからg、映進していない場合は1（もしくは省略）

 例 
p2 (p211): 基本胞、回転対称2、鏡映・映進無し
c2mm: 中心胞、回転対称2、主軸と垂直の軸で鏡映
p31m: 基本胞、回転対称3、鏡軸は60°の鏡映

 オービフォルド記法 

 17種の文様群 
記号説明
 20px|ひし形は 180° (= 360°/ 2) の回転中心
 20px| 三角形は、120° (= 360°/3) の回転中心
 20px| 正方形は、90° (= 360°/4) の回転中心
 20px| 六角形は、60° (= 360°/6) の回転中心
 120px|太い線は鏡映軸
 120px|鏡映と並進を組み合わせた映進軸
 黄色い領域は、基本パターンである。

 p1群 
P1群は、並進のみの連続パターンで、その他の回転などは含まない。
 オービフォルド記法：o
 点群: C1
サムネイル|
日本の伝統文様における代表例＜雲立涌＞
p1の例|300px
160px
120px
80px
120px
160px

 p2群 
 オービフォルド記法：2222
 点群: C2
サムネイル|
日本の伝統文様における代表例＜子持吉原＞
p2の例|300px
160px
120px
80px
120px
160px

 pm群 
 オービフォルド記法：**
 点群: D1
サムネイル|
日本の伝統文様における代表例＜桐立涌＞
pmの例|300px
160px
160px

 pg群 
 オービフォルド記法：××
 点群: D1
サムネイル|
日本の伝統文様における代表例＜鎌輪ぬ＞
pgの例|300px
160px
160px

 cm群 
 オービフォルド記法：*×
 点群: D1
サムネイル|
日本の伝統文様における代表例＜青海波＞
cmの例|300px
160px
160px

 p2mm群 
 オービフォルド記法：*2222
 点群: D2
サムネイル|
日本の伝統文様における代表例＜両滝縞＞
p2mmの例|300px
160px

 p2mg群 
 オービフォルド記法：22*
 点群: 
サムネイル|
日本の伝統文様における代表例＜山路文＞
p2mgの例|300px
160px
160px

 p2gg群 
 オービフォルド記法：22×
 点群: 
サムネイル|
日本の伝統文様における代表例＜紗綾形＞
p2mgの例|300px
160px
100px

 c2mm群 
 オービフォルド記法：2*22
 点群: 
サムネイル|
日本の伝統文様における代表例＜松皮菱＞
c2mmの例|300px
160px

 p4群 
 オービフォルド記法：442
 点群: 
サムネイル|
日本の伝統文様における代表例＜角繋ぎ＞
p4の例|300px
100px

 p4mm群 
 オービフォルド記法：*442
 点群: 
サムネイル|
日本の伝統文様における代表例＜市松＞
p4mmの例|300px
100px

 p4mg群 
 オービフォルド記法：4*2
 点群: 
サムネイル|
日本の伝統文様における代表例＜五崩し＞
p4mgの例|300px
100px

 p3群 
 オービフォルド記法：333
 点群: 
サムネイル|
日本の伝統文様における代表例＜鶴亀甲＞
p3の例|300px
160px

 p3m1群 
 オービフォルド記法：*333
 点群: 
サムネイル|
日本の伝統文様における代表例＜毘沙門亀甲＞
p3m1の例|300px
160px

 p31m群 
 オービフォルド記法：3*3
 点群: 
サムネイル|
日本の伝統文様における代表例＜毘沙門亀甲２＞
300px
160px

 p6群 
 オービフォルド記法：632
 点群: 
サムネイル|
日本の伝統文様における代表例＜六つ手卍＞
300px
160px

 p6mm群 
 オービフォルド記法：*632
 点群: 
サムネイル|
日本の伝統文様における代表例＜麻の葉＞
300px
160px

 脚注 

 さらなる学習用の図書 
 難波誠:「合同変換の幾何学」、現代数学社、ISBN 978-4-7687-0633-6 (2024年4月21日）。
 河野俊丈：「結晶群」、共立講座 数学探検 7、ISBN   978-4320111806 (2015年6月25日)。
 岩堀長慶：「復刻版　初学者のための合同変換群の話」、現代数学社、 ISBN 978-4768705322 （2020年4月23日）。

 関連項目 
 平面充填
 タイル張り
 アインシュタイン・タイル(アインシュタイン問題) - 同じパターンを繰り返さないで平面を充填する数学的な問題。
 群 (数学)
 群論
 点群
 層群
 空間群
 結晶学
 マウリッツ・エッシャー
 (空間畏怖) - 古来から空白なく文様を充填させるのは、空虚感への恐怖からくるものだと美術史家が指摘している。名称は、哲学者アリストテレスのから。

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