アイゼンシュタインの既約判定法

アイゼンシュタインの既約判定法（アイゼンシュタインのきやくはんていほう、）は整係数の多項式が有理数体  上で既約であるための十分条件を与える定理である。ゴットホルト・アイゼンシュタインが1850年に発表した論文が由来。20世紀初頭では、シェーネマン＝アイゼンシュタインの既約判定法とも呼ばれていた。これは、1846年にがこの定理を最初に発表したことに由来する。

 定理 

を整数係数の多項式とする。ある素数  が存在して、整数  が
 の場合は  は  で割り切れる
 は  で割り切れない
 は  で割り切れない
を満たすならば、 は有理数体  上で既約である。

上の定理の係数環  は一意分解環にまで一般化できる。即ち以下が成り立つ。証明は全く同様である。
 を一意分解環、 をその商体とする。
を  係数の多項式とする。ある  の素元  が存在して、 が
 の場合は  は  で割り切れる
 は  で割り切れない
 は  で割り切れない
を満たすならば、 は体  上で既約である。

さらに係数環を整域にまで拡張できる（詳細は英語版を参照のこと）。

 例 
 複素係数多項式  は既約である。実際  係数の一変数多項式と見て素元として  と選べばよい。

 脚注 

 関連項目 

コーンの既約判定法

 参考文献 
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 外部リンク 

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