ファクトリオン

数学において、ファクトリオン()とは、 各桁の数字の階乗の和がその数自身となる自然数である。例えば、145は、1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145であるためファクトリオンである。

十進法では、ファクトリオンは、1、2、145、40585()の4つのみである。

ファクトリオン、という名称は、が彼の著書、Keys to Infinity の22章、"The Loneliness of the Factorions"で用いた。 

 上限 
nをd桁の自然数であるファクトリオンとすると、10d − 1 ≤ n ≤ 9!d(ただし9!dは9!とdの積の意である)が成り立たなければならない。しかしこれは、d ≥ 8に対し成り立たず、nは最大で7桁であることが分かるため、最初の上限として、9999999が分かる。しかし、7桁の数の各桁の階乗の和は、9!*7 = 2540160なので、2番目の上限は2540160となる。さらに、9!6 = 2177280であり、6つの9があり、2540160より大きくない7桁の自然数は、1999999である。これは、調べれば分かる通りファクトリオンではない。次の最大の和は、1999998である。同様の手順で、次の上限は1854721と分かる。

 他の基数 
十進法以外にも定義が拡張されている場合、ファクトリオンは無限に存在する。これの例として、任意のn > 3 である自然数に対し、n! + 1 と n! + 2は(n-1)!進法でファクトリオンであり、2桁で"n1"、"n2"と書かれる。例えば、25と26は六進法でファクトリオンであり、"41"、"42"と書かれる。また、121と122は二十四進法でファクトリオンであり、"51"、"52"と書かれる。

n > 2に対し、n! + 1はさらに(n! - n + 1)進法でもファクトリオンであり、2桁で"1n"と書かれる。例えば、25は二十一進法でファクトリオンであり、"14"とかかれる。また、121は百十六進法でファクトリオンであり、"15"と書かれる。

全ての自然数は一進法でファクトリオンであり、1と2は全ての記数法でファクトリオンである。

次の表は、三十進法までのファクトリオンの一覧である。

 基数(n) n進表記 十進法での表現 1  1, 11, 111, ...  1, 2, 3, ... (全ての自然数) ≥1  1  1 2  10  2 ≥3  2  2 4  13  7 5  144  49 6  41  25 6  42  26 9  6 2558  41282 10  145  145 10  4 0585  40585 11  24  26 11  44  48 11  2 8453  40472 13  8379 0C5B  519326767 14  8 B0DD 409C  12973363226 15  661  1441 15  662  1442 16  260 F3B6 6BF9  2615428934649 17  8405  40465 17  146F 2G85 00G4  43153254185213 17  146F 2G85 86G4  43153254226251 21  14  25 23  498J HHJI 5L7M 50F0  1175342075206371480506 24  51  121 24  52  122 26  10 K2J3 82HG GF81  2554945949267792653 26  10 K2J3 82HG GF82  2554945949267792654 27  725  5162 27  75 CA7B E19H 1K2P 6DKF  15511266000434263077417003 28  54  144 30  Q 809T 0Q5Q A0EG CSGI CG4R  9158749082185220449342855718547

 参考文献 
 Clifford A. Pickover, Keys to Infinity ISBN 0-471-19334-8 
 関連項目 
 階乗

 外部リンク 
 factorion at Wolfram MathWorld

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