アメーバ (数学)

[[Image:Amoeba2.svg|right|thumb|P(z, w)=3z2+5zw+w3+1 のアメーバ。アメーバの中には液胞があることに注意。]]

+ z3 + z2w3
+ 10zw + 12z2w
+10z2w2 のアメーバ
+83 z2 w+24 z w2
+w3+392 z2
 +414 z w+50 w2
 -28 z +59 w-100 のアメーバ 

数学の一分野である複素解析において、アメーバ（）は、一変数、あるいは多変数の多項式に関連した集合である。アメーバは代数幾何学、特に、トロピカル幾何学へ応用を持っている。

 定義 
ユークリッド空間  上に値を持つ 0 を除く複素数 n-組  の集合上に定義され、式

により与えられる函数

を考える。ここに 'log' は、自然対数を表す。p(z) が  変数の多項式であれば、そのアメーバ(amoeba)  は p の零点の集合の Log による像として定義される。



アメーバは 1994年、イズライル・ゲルファント(Israel Gelfand)、カプラノフ(Kapranov)、(Andrei Zelevinsky)の書籍で導入された。

性質

 アメーバは閉集合である。
 補空間  の連結成分は、凸であるItenberg et al (2007) p.3。
 2変数の恒等的に 0 ではない多項式のアメーバの面積は、有限である。
 2次元のアメーバは、多くの「触手」を持ち、触手は無限に長く、無限遠点では指数的に狭くなる。

ロンキン函数

アメーバを研究する有効なツールが、ロンキン函数(Ronkin function)である。n （複素）変数の多項式 p(z'') に対し、式



により、ロンキン函数を、



と定義する。ここに  は  を表す。同じことであるが、 は積分



により与えられる。ここに



とする。ロンキン函数は凸函数であり、 のアメーバの補集合の各々の連結成分上では(affine)である。

例として、 である単項式



のロンキン函数は、



である。

 脚注 

 参考文献 


 さらに進んだ書籍 


 外部リンク 

 Amoebas of algebraic varieties

Category:代数幾何学
Category:数学に関する記事