一様コーシー列

数学において、ある集合 S から距離空間 M への函数列  が一様コーシー（いちようコーシー、）であるとは、次が成立することをいう：

 すべての  に対して、ある  が存在し、 であるならばすべての  に対して  が成立する。

また別の表現として、 に対して  というものがある。ここで  は二つの函数の間の一様距離で、次のように定義される：

 収束条件 

S から M への函数列 {fn} が「各点毎に」コーシーであるとは、各 x ∈ S に対して列 {fn(x)} が M 内のコーシー列であることをいう。これは一様コーシーよりも弱い条件である。

一般に、列は、各点毎にコーシーであっても各点毎に収束するとは限らず、また一様コーシーであっても一様収束するとは限らない。しかし、距離空間 M が完備であるなら、各点毎にコーシーであるような任意の列は、S から M へのある函数に各点毎に収束する。また同様に、任意の一様コーシー列はそのような函数に一様収束する。

一様コーシー性は、S が只の集合ではなく位相空間であり、M が完備距離空間である場合にも頻繁に用いられる。次の定理が成り立つ：

 S を位相空間とし、M を完備距離空間とする。このとき、連続函数 fn : S → M からなる任意の一様コーシー列は、唯一つの連続函数 f : S → M に一様収束する。

 一様空間への一般化 

ある集合 S から距離空間 U への函数列  が一様コーシーであるとは、次が成り立つことをいう：

 すべての  と任意の近縁  に対して、ある  が存在し、 であるなら  が常に成り立つ。

 関連項目 


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