モノイド環

抽象代数学におけるモノイド環（モノイドかん、）あるいはモノイド多元環（モノイドたげんかん、; モノイド代数）は、（単位的）環とモノイドから構成される単位的多元環で、多項式環の概念を一般化するものである。

実際、環  上の一変数多項式環  は  と（ を含む）自然数全体の成す（加法的）モノイド  （あるいは適当な不定元  を用いて乗法的に書いた可換モノイド ）から得られるモノイド環  であり、同様に（加法）モノイド  は -変数の多項式環  を与える。

与えられたモノイドがさらに群を成すとき、得られるモノイド環は群環と呼ばれる。

 定義 
 を環とし  をモノイドとする。以下の二つは本質的に同じ構造を定める。

言い方を変えれば、前者の「形式和」の意味は後者の写像として理解される。より厳密には、 および  に対して、内積  に関する意味で、形式和の集合  と写像空間  は「双対」の関係にある。

  は環として単位的である。実際、 の乗法単位元  と  の単位元  に対して、 は上記乗法の単位元を与える。
  が環として可換となるのは、 が可換モノイドであるときである。
 係数環の変更: 環  とその間の環準同型  に対して、モノイド環の間の準同型  が （形式和で書けば ）とおくことにより一意的に定まる。

 に対して元ごとのスカラー倍

を定義して  は  上の多元環になる。

 普遍性 
環  とモノイド  が与えられると、各  を  （ は  の単位元）に送る環準同型  と、各  を  （ は  の乗法単位元）に送る  （ は乗法によりモノイドと見る）が存在するという意味で  と  は  に標準的に埋め込めて、任意の  と  に対して  と  は常に可換となる。このとき、モノイド環の普遍性とは次のように述べられる。
 モノイド環の普遍性
 任意の環  について、環準同型  およびモノイド準同型  （S は乗法についてモノイドと見る）の組で  と   が常に可換となるものが与えられるならば、環準同型  で  かつ  を満たすものが一意的に存在する。

圏論的に述べれば、モノイドの圏  と結合的 -多元環の圏  に対して、函手  を環にその乗法モノイドを対応させるものとすれば、標準的な埋め込み  が普遍である。即ち -多元環  と任意のモノイド準同型  に対し  となる  が一意に定まる。別な言い方をすれば、モノイドにモノイド環を対応させる函手は  の左随伴である。

添加

添加 (augmentation) とは次で定義される環準同型  である：


η の核は添加イデアル (augmentation ideal) と呼ばれる。これは自由 R 加群で、すべての 1 ≠ g ∈ G に対する 1 − g からなる基底を持つ。

一般化
  が半群であれば、同じ構成により半群環 (semigroup ring) R[G] が生じる。モノイド環は必ず単位的となるが、半群環は（半群に単位元の存在が必ずしも言えないから）そうでない。

 は環、 は全順序群、すなわち  を満たす群とするとき、

と置けば、 は畳み込み積を乗法、成分ごとの和を加法として環を成す。 が体のとき  は可除環になる。例えば  を整数の通常の大小関係を順序とする全順序群とすれば、得られる環  は -係数形式ローラン級数環である。

 注釈 

 参考文献 

 関連文献 
 R. Gilmer. Commutative semigroup rings. University of Chicago Press, Chicago–London, 1984.

関連項目
 自由代数

 外部リンク 



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