ファイバー (数学)

数学において、用語ファイバー (fiber, fibre) は文脈によって次の2つの意味を持つ：

 素朴集合論において、写像 f: X → Y のもとでの集合 Y の元のファイバーとは、単元集合 {y} の f による逆像のことである。
 代数幾何学において、スキームの射のファイバーの概念は、一般に全ての点が閉とは限らないから、より注意深く定義されなければならない。

 定義 

素朴集合論におけるファイバー
 を写像とする。元  のファイバー は、

と定義され、 とも書かれる。

様々な応用においてこれはまた次のようにも呼ばれる：
 写像 f による  の逆像、
 写像 f による  の原像、
 点 y における関数 f の等位集合。

等位集合という用語は f が実数値でしたがって y が単に数であるときにのみ用いられる。f が R の領域上の連続関数で、y が f の像に入っていれば、f に対する y の等位集合は、2次元空間内の曲線や、3次元空間内の曲面、一般には d − 1 次元の超曲面である。

代数幾何学におけるファイバー
代数幾何学において、f: X → Y がスキームの射であれば、Y の点 p のファイバーはファイバー積  である、ただし k(p) は p における剰余体。

 Terminological variance 

用語「ファイバー」、「逆像」、「原像」、「等位集合」の推奨された使い方は以下のとおりである：

 写像 f のもとでの元 y のファイバー
 写像 f のもとでの集合  の逆像
 写像 f のもとでの集合  の原像
 点 y における関数 f の等位集合。

用語の濫用によって、以下のように使われることがあるが、避けるべきである：
 元 y における写像 f のファイバー
 元 y における写像 f の逆像
 元 y における写像 f の原像
 写像 f のもとでの点 y の等位集合。

 例 
f を実関数  とし、y を実数とする。
 y > 0 であれば、y のファイバーは二元集合  である。
 y = 0 であれば、y のファイバーは単元集合  である。
 y < 0 であれば、y のファイバーは空集合  である。

 関連項目 

 ファイバー束
 ファイバー積
 像 (圏論)
 像 (数学)
 逆関係
 核 (代数学)
 等位集合
 原像
 関係 (数学)


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