17点3次曲線

幾何学における17点3次曲線（17てん3じきょくせん）岩田至康『幾何学大事典』6巻P.468「Thomsonの3次曲線」に関しては日本語の定訳が見つからなかったのでこれを記事名とした。とは、自身と等角共役点と重心が同一直線上に乗る点の軌跡である。トムソンの3次曲線ともいう。

三角形の五心を含む少なくとも17個の点がこの曲線上にあることからこの名がつけられた。

 定義と方程式 
17点3次曲線は、「X の等角共役点 X'∠BAX=∠CAX' ∠CBX=∠ABX' ∠ACX=∠BCX' を満たす点 と重心が同一直線上にある点Xの軌跡」である。三角形の3辺の長さを a, b, c とするとこの曲線の方程式は以下のようになる。
 三線座標で表すと 。
 重心座標で表すと 。

 17個の点 
この曲線は、以下の17個の点を通る。
 内心と傍心
 自身が等角共役点のため、それらと重心は同一直線上にある。
 重心と類似重心
 この2点が等角共役点であるため、明らか。
 外心と垂心
 この2点が等角共役点である。この2点と重心は共にオイラー線上にある。
 頂点
 等角共役点は存在しないが、上記の方程式に(1,0,0)を代入すれば明らかに成り立つ。
 3辺の中点
 等角共役点は存在しないが、上記の重心座標の方程式に(1,1,0)を代入すれば明らかに成り立つ。
 3本の垂線の中点

他に、シュタイナーの内接楕円の焦点やミッテンプンクトとその等角共役点を通る。

 脚注 

 外部リンク 

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