ソボレフ共役

数学において、空間の次元を n とするとき、 を満たす p のソボレフ共役（ソボレフきょうやく、）は

で与えられる。このパラメータは特にソボレフ不等式において重要となる。

 動機 

ある q >p に対し、ソボレフ空間  の元 u が  に属するかという問題が考えられる。より具体的に、 が  を制御するのはいつか、という問題が考えられる。次の不等式が任意の q に対して成立することはないということは、容易に確かめられる。

     (*)

コンパクトな台を持つ無限回微分可能な函数  を考える。 とすると、次が成り立つ。

 に対する不等式 (*) の結果、 に対する次の不等式が得られる。

 なら、 をゼロあるいは無限大とすることで矛盾が導かれる。したがって不等式 (*) は

に対してのみ成立する。これがソボレフ共役である。

 関連項目 
 セルゲイ・ソボレフ

 参考文献 
 Lawrence C. Evans. Partial differential equations. Graduate studies in Mathematics, Vol 19. American Mathematical Society. 1998.  ISBN 0-8218-0772-2

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