零射

数学の一分野圏論における零射（れいしゃ、ゼロしゃ、）は特別な種類の射で、零対象への射と零対象からの射の性質を併せ持つ。

 諸定義 
圏  と  内の射  を考える。射  が定値射 (constant morphism) または左零射であるとは、 の任意の対象  と任意の射の対  に対して  を満たすときに言う。双対的に、 が余定値射 (coconstant morphism) または右零射であるとは、任意の対象  と射の対  に対して  を満足するものを言う。零射は左零かつ右零な射である。

零射を持つ圏 (category with zero morphisms) は、対象の各対  に対して一つの射  が存在して、以下の図式 center|160px|零射 を任意の対象の組  と任意の射  に対して可換にする。

この射  は零射でなければならず、零射からなる可換な系を成す。

零射を持つ圏  の零射  全体の成す集まりは一意である。

この場合、「零射」と「零射を持つ圏」という呼称とはそれぞれ無関係に定義されるものではあるが、しかし各射集合が「零射」を持つ圏は「零射を持つ圏」になる。

 例 
 群の圏（や加群の圏）において、零射は準同型  であって  の任意の元を  の単位元に写すもの（零準同型）である。群の圏の零対象は自明群  でこれは同型を除いて唯一であり、任意の零射は  を経由して  と分解できる。
 より一般に  が零対象  を持つ圏ならば、対象の各対  に対して一意な射の列  が存在する。この射全体の成す族は  に零射を持つ圏の構造をもたらす。
 前加法圏  の任意の射集合  はアーベル群であるから、零元がある。それら零元の全体は  の零射からなる可換族を成し、 は零射を持つ圏となる。
 集合の圏（集合とその間の写像を射とする圏） は零対象を持たないが、空集合  を始対象にもつ。ゆえに  の右零射は存在して、各集合  に対する空写像  がそうである。

 関連概念 
圏  が零対象  を持つならば、対象の各対  に対して標準的な射の対  が存在するから、合成射  は  に属する零射になる。ゆえに任意の点付き圏（零対象を持つ圏）は合成射  で与えられる零射を持つ圏である。　

圏が零射を持つならば、その圏における任意の射に対する核と余核の概念が定義できる。

 参考文献 
Section 1.7 of 
 .

 注 

 外部リンク 



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