摂動函数

数学の数理最適化の分野において、摂動函数（せつどうかんすう、）とは、主問題と双対問題を関連づける任意の函数である。そのような任意の函数は元の問題の摂動を定義する事実から、その名が付けられた。多くの場合、この函数は制約条件をシフトする形状を取る。

文献によっては、が摂動函数と呼ばれ、摂動函数は二重函数（bifunction）と呼ばれることもある。

 定義 
分離的な局所凸空間の二つの双対組  と  が与えられるとする。このとき、与えられた函数  に対する主問題を次で定義する。

制約条件が存在するならば、それら制約条件を  として函数  に含めてしまうこともできる。ここで  はである。このとき  が摂動函数であるための必要十分条件は、 である。

 双対性 
双対ギャップは、次の不等式の右辺と左辺の差で与えられる。

ここで  は両変数についての凸共役である。

摂動函数 F をどのように選んでも弱双対性は成立する。また強双対性が成立するための条件は数多く存在する。例えば、F が真結合凸函数で、下半連続かつ  であり（ここで  は代数的内部を表し、 は  で定義される Y の上への射影である）、X と Y がフレシェ空間であるなら、強双対性は成立する。

 例 
 ラグランジアン 
 と  を双対組とする。（f(x) を最小化する）主問題と、関連する摂動函数 (F(x,y)) が与えられたとき、ラグランジアン  は、F の y に関する負の共役（すなわち、凹共役）である。すなわち、ラグランジアンは次で定義される。

特に、弱双対ミニマックス方程式は次のように表される。

主問題が、 に対し

で与えられるとする。このとき、摂動が

で与えられるなら、摂動函数は

となる。したがって、ラグランジアン双対性との関連は、L が明らかに次で与えられることから分かる。

.

 フェンシェル双対性 

 と  を双対組とする。ある線型作用素  とその随伴作用素  の存在を仮定する。また主目的函数（指示函数による制限も含む）は、 に対して  と表すことが出来るものとする。このとき、摂動函数は次で与えられる。

 .

特に、主目的函数が  であるなら、摂動函数は  で与えられるが、これはフェンシェル双対性の伝統的な定義である。

 脚注 

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