Σコンパクト空間

数学において、位相空間がσコンパクト (σ-compact) であるとは、可算個のコンパクト部分空間の合併であることをいうSteen, p. 19; Willard, p. 126. 。

空間がσ局所コンパクト (σ-locally compact) であるとは、σコンパクトかつ局所コンパクトであることをいうSteen, p. 21.。

 性質と例 
 すべてのコンパクト空間はσコンパクトであり、すべてのσコンパクト空間はリンデレーフ空間である（すなわちすべての開被覆は可算部分被覆を持つ）Steen, p. 19.。逆は成り立たない。例えば、標準的なユークリッド空間 (Rn) はσコンパクトだがコンパクトでなくSteen, p. 56.、実数直線上のはリンデレーフだが σ コンパクトでないSteen, pp. 75–76.。実は、はリンデレーフだがσコンパクトでも局所コンパクトでもないSteen, p. 50.。

σコンパクトかつ局所コンパクトな空間はパラコンパクトである松島，p. 86.。とくに、多様体がσコンパクトならばパラコンパクトである松島，p. 88.。逆に、パラコンパクト多様体の連結成分の個数が高々可算個であればσコンパクトである。

ハウスドルフベール空間がσコンパクトでもあれば少なくとも1点で局所コンパクトでなければならない。

 G が位相群で G が1点で局所コンパクトであれば、G はすべての点で局所コンパクトである。したがって、直前の性質より、G がσコンパクトハウスドルフ位相群でベール空間でもあれば、G は局所コンパクトである。これはハウスドルフ位相群がベール空間でもあればσコンパクト性から局所コンパクト性が従うことを示している。

 直前の性質より例えば Rω はσコンパクトでない。なぜならば、仮にσコンパクトとすると、Rω は位相群であってベール空間でもあるから、局所コンパクトでなければならない。

 すべてのはσコンパクトであるWillard, p. 126.。しかしながら、逆は正しくない。例えば、有理数全体からなる空間に通常の位相を入れると σ コンパクトだが半コンパクトではない。

 σコンパクト空間の有限個の積はσコンパクトである。しかしながら、σコンパクト空間の無限個の積はσコンパクトとは限らない。

 σコンパクト空間 X が第二類(resp. ベール) であることと X が局所コンパクトであるような点の集合が X において空でない（resp. 稠密である）ことは同値であるWillard, p. 188.。

 関連項目 

リンデレーフ空間

 脚注 

 参考文献 
 Steen, Lynn A. and Seebach, J. Arthur Jr.; Counterexamples in Topology, Holt, Rinehart and Winston (1970). ISBN 0-03-079485-4.

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