フレヴィッツの定理

数学において、フレヴィッチの定理（）は、代数的位相幾何学の基本的結果であり、フレヴィッチ準同型と呼ばれる写像を通して、ホモトピー論とホモロジー論を結びつけるものである。定理の名前は、 (Witold Hurewicz) に因んでいて、アンリ・ポアンカレ (Henri Poincaré) による以前の結果を一般化した定理である。

 定理の主張 
フレヴィッチの定理は、ホモトピー群とホモロジー群を結びつける重要な定理である。

絶対的なバージョン
任意の位相空間 X と正の整数 k に対し、k 次ホモトピー群から k 次（整数係数）ホモロジー群への、フレヴィッチ準同型 (Hurewicz homomorphism) と呼ばれる群準同型

が存在する。k = 1 と弧状連結な X に対して、フレヴィッツの定理は、標準的なアーベル化写像

と同値となる。

フレヴィッツの定理は、X が であれば、フレヴィッツ準同型写像は n ≥ 2 のときすべての k ≤ n に対し同型となり、n = 1 のときアーベル化となる、というものである。特に、フレヴィッツの定理は、第一ホモトピー群（基本群）のアーベル化が第一ホモロジー群

に同型であることを言っている。従って、X が弧状連結で、1(X) がであれば、第一ホモロジー群が 0 となる。

さらに、n ≥ 2 に対し、X が (n − 1)-連結のときはいつも、フレヴィッツ準同型写像は  から  への全射である。

群の準同型は、標準的な生成子  を選び、写像  のホモトピー類を  に写すことにより得られる。

相対的なバージョン
位相空間対 (X, A) と整数 k > 1 に対し、相対ホモトピー群から相対ホモロジー群への準同型

が存在する。相対フレヴィッツの定理は、X と A が連結であり、対 (X, A) が (n − 1)-連結であれば、k < n に対し、Hk(X,A) = 0 であり、Hn(X, A) は n(X, A) から 1(A) への作用で割ることで得られるという定理である。このことは、 では帰納法により証明され、絶対バージョンとホモトピー加法補題と証明された。

この相対的フレヴィッツの定理は、において、射
ここにある、 は、 の約錐(reduced cone) :   を表す。ちなみに、 の約懸垂(reduced suspension)は  で表す。
に関するステートメントとして再定式化された。

このステートメントは、(homotopical excision theorem)の特別な場合であり、n > 2 に対し誘導加群（ n = 2 に対しては、接合加群(crossed module)）を意味し、相対ホモトピー群の高次ホモトピーの(van Kampen theorem)から導かれる。証明は 3次のホモトピー亜群のテクニックの発展を必要とした。

単体の集合のバージョン
位相空間についてのフレヴィッツの定理は、n-連結なカンの条件を満す(simplicial set)についての成立するとする定理である, III.3.6, 3.7。

有理フレヴィッツ定理

有理フレヴィッツ定理(Rational Hurewicz theorem)：  に対し  であるような X を単連結な位相空間とすると、 フレヴィッツ写像

は、 に対して同型を、 に対しては全射を引き起す。
 脚注 

参考文献








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