函数的平方根

数学において函数的平方根（かんすうてきへいほうこん、）あるいは半反復（half iterate）とは、合成の演算に関する函数の平方根のことである。言い換えると、ある函数  の函数的平方根  とは、すべての  に対して  を満たすもののことを言う。

 例えば、 は  の函数的平方根である。

 同様に、チェビシェフ多項式  の函数的平方根は  である。これは一般には多項式ではない。

 また、 は  の函数的平方根である。

 が  の函数的平方根であることは、 あるいは  と表記される。

 指数函数の函数的平方根は、1950年にヘルムート・クネーザーによって研究された。

 ℝ 上での  の解（実数の対合）は、1815年にチャールズ・バベッジによって初めて研究された。この方程式はバベッジの函数方程式と呼ばれるJeremy Gray and Karen Parshall (2007) Episodes in the History of Modern Algebra (1800–1950), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4343-7。特殊解は に対して  である。これは  あるいは  () を含む。バベッジは、任意の与えられた解  に対して、任意の可逆函数  による函数的共役  もまた解であることを注記している。

任意の函数的 -乗根（ だけでなく、連続、負、無限小の  も含む）をシステマティックに構成する手順は、シュレーダーの方程式の解に依る
。

 例 
正弦函数（青）の第一半周期における反復。半反復（橙）、すなわち正弦函数の函数的平方根；さらにそれの函数的平方根、すなわち4分の1乗根（黒）；第二反復から始まる、その四回反復（赤）；それらを包含する緑の三角形は、極限の 0 反復を表し、正弦函数を導く始点を提供するのこぎり歯函数。一般教育的なウェブサイトCurtright, T.L. Evolution surfaces and Schröder functional methods.より引用。

 [赤の曲線]
 [青の曲線]
 [橙の曲線]
 [橙の曲線より上にある黒の曲線]
 [図示されていないが、緑の曲線より上にある。]

 関連項目 

 反復合成写像
 写像の合成
 アーベル方程式
 シュレーダーの方程式

 フロー (数学)

 分数階微積分学

 参考文献 

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