単因子

代数学において、行列の単因子（たんいんし）とは、その「標準形」を定める不変量のことである。

 定義 
 を単項イデアル整域（たとえば整数環  や複素係数の一変数多項式環  などのユークリッド整域）とする。また  を  成分の  行列全体とし、特に  のときは、これを  と表すことにする。すべての行列  は、ある可逆行列  と  を使って次の形に変形できる。

ここで  かつ  である。このような  は単数倍を除いて一意に定まり、これを行列  の単因子という。右辺の行列は  のスミス標準形  あるいは単因子標準形と呼ばれる。
この行列  は行列の基本変形を積み重ねることにより求められる。

 性質 
 を体とする。
 2つの行列  が相似であるための必要十分条件は、2つの行列  の単因子が一致することである。 

 行列  の最小多項式は、行列  の最大次数の単因子（を規格化したもの）と一致する。

 例 
 を複素係数の一変数多項式環  とする。次の行列  の単因子は可逆行列  として以下の行列を取れば  とわかる。

 脚注 

 参考文献 



 木村達雄、竹内光弘、宮本雅彦、森田純：「代数の魅力」、数学書房、ISBN 978-4-903342-11-5 (2009年9月10日)　の第2.4節と第2.5節。

 関連項目 
 有限生成アーベル群の基本定理
 ジョルダン標準形
 主イデアル整域上の有限生成加群の構造定理

 外部リンク 


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