無理回転

力学系の数学理論において、無理回転（むりかいてん、）とは、次の写像のことを言う：



但し θ は無理数である。円を R/Z、あるいは境界が貼り合わされる区間 [0, 1] と見なすと、この写像は全回転に対する割合 θ（すなわち、2πθ ラジアンのある角）による円の回転を表すことになる。θ は無理数であるので、この回転は円周群において無限の位数を持ち、写像 Tθ は周期軌道を持たない。

上の代わりに、無理回転は乗法を用いて次の写像のように表すことも出来る：



これら加法と乗法の記法の間にある関係は、群同型

.

である。 は等長であることを示すことも出来る。

 が有理数であるか無理数であるかに応じて、円周の回転には明確な区別が存在する。有理回転は、 および  であれば  に対して  になるという事実より、力学系において無理回転ほどの興味を引くものではない。 であれば  を示すことも出来る。

 意義 

無理回転は、力学系の理論において基礎となる例を与える。に従うと、回転数  が無理数であるような円板の向き付け保存 -微分同相写像はすべて、 と位相共役である。無理回転は測度保存エルゴード変換であるが、ではない。角度が  であるトーラス上のと関連する力学系に対するポアンカレ写像は、 による無理回転である。無理回転に関連するC*-環は、として知られ、幅広く研究されている。

 性質 

  が無理数であるなら、回転  の下での  の元の軌道は  において稠密である。したがって、無理回転はである。
  が無理数であるなら、 は一意的にエルゴード的である。
 無理回転および有理回転は、位相的に混合ではない。
 無理回転はルベーグ測度に関してエルゴード的である。
 無理回転は、唯一つの不変な確率測度であるルベーグ測度を伴い、一意的にエルゴード的である。
  を仮定する。 はエルゴード的であるため、次が成り立つ。.

 一般化 
 円周回転は群の並進（group translation）の例である。
  からそれ自身への一般の向き付け保存同型写像  に対し、位相同型写像  は  を満たすなら、 のリフトと呼ばれる。但し  である。

 応用 
 円周の回転に関する歪積（Skew product）について：1969年にウィリアム・ヴィーチ（William Veech）は、極小であるが一意にエルゴード的ではない力学系の例を次の様に構成した：「単位円周の二つのコピーを用意し、それぞれ終点が　0 となるような長さ  の区分  を反時計回りに取る。 を無理数とし、次の力学系を考える。第一の円周のある点  を始点とする。軌道が  に到達するまで、 によって反時計回りに回転する。その後、第二の円周の対応する点に移動し、 に到着するまで  によって回転する。再び第一の円の対応する点に戻り、以下この手順を繰り返す。ヴィーチは、 が無理数であるなら、システムは極小であるがルベーグ測度が一意にエルゴード的でないような無理数  が存在することを示した」。

 関連項目 


 モジュラ計算
 ジーゲル円板

 位相同期（円周写像）

 参考文献 

 発展的な文献 
 C. E. Silva, Invitation to ergodic theory, Student Mathematical Library, vol 42, American Mathematical Society, 2008 ISBN 978-0-8218-4420-5

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