ネックレス多項式

組合せ数学において、ネックレス多項式 (necklace polynomial) あるいは（モロー (Moreau) の）ネックレス数え上げ関数 (necklace-counting function) は、以下の式が成り立つような  の多項式  である。

メビウスの反転公式によって、ネックレス多項式は


となる。ここで  は古典的なメビウス関数である。

ネックレス多項式は  によって研究された関数と密接な関係にあるが、同じというわけではない。モローはネックレスの個数を数えたが、ネックレス多項式は非周期的なネックレスの個数を数える。

ネックレス多項式は以下のように現れる。

 色はそれぞれ  色の中から選ばれる  個のビーズを組み合わせて作ることのできる非周期的（とも呼ばれる）の個数。（「ネックレス」という用語は誤解を招くかもしれない。ネックレスをテーブルから持ち上げて裏返すと、時計回りと反時計回りが逆になり、そのような操作で対称的でない限り、異なるネックレスとなり、別々に数えられるのである。）
  個の生成元上の自由リー代数の  次のピースの次元（「ヴィットの公式」）
 （ が素数の冪であるとき） 個の元からなる有限体上の  次のモニック既約多項式の個数
 の指数
 サイズ  のアルファベットの長さ  のの個数。

値

,　ただし  は素数。
 を  と  の最大公約数、 を  と  の最小公倍数として、


関連項目

参考文献

Category:組合せ論
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