半ノルム

数学の特に線型代数学および函数解析学における半ノルム（はんのるむ、; セミノルム）は、ベクトル空間上で定義される絶対斉次劣加法的函数で、正定値と制約しないことによるノルムの一般化である。

半ノルムの値は非負かつ符号反転に関して対称であり、函数として かつ凸である。

各半ノルムには、適当な剰余類をとる商構成に誘導されるノルムが付随する。半ノルムからなる族を用いて、局所凸線型空間を定義することができる。

 定義 
ノルム体 （ふつうは実数体  または複素数体 ）上のベクトル空間  に対し、 上の半ノルムとは、写像  で絶対斉次性および劣加法性を持つものを言う。式で書けば、 および  を任意として

 絶対斉次性

 劣加法性


が成り立つ。ただし、 は係数体の絶対値である。半ノルム  を備えたベクトル空間  は  と呼ぶ。

 例 
 任意のノルムは、半ノルムである。
 各ベクトルを全て零ベクトルに写す零函数  は半ノルムである。
 実または複素数値線型函数の絶対値は半ノルムである。
 任意の正定値実対称双線型形式（または複素半双線型形式） が誘導する  は半ノルムである。
 位相空間  とそのコンパクト部分集合  に対し、 と置けば連続函数  全体の成す空間上の半ノルムが定まる。ここで、函数の値をコンパクト集合上でしかとっていないから、右辺の上限は存在して有限となることに注意せよ。
 線型空間の併呑かつ絶対凸な部分集合  に対するミンコフスキー汎函数も半ノルムの例である。
 ノルム空間  の連続的双対  において  と置けば、 上の半ノルム  が定まる。
 連続線型写像の空間  には、 および  が半ノルムとして定義できる。

 性質 
定義から、絶対斉次性の式で  とおくことにより、直ちに , すなわち零ベクトルの半ノルムが零であることが従う。しかしノルムの場合と対照的に、非零ベクトル  も半ノルムが  となることが起きうる。

劣加法性（三角不等式とも呼ばれる）において  と置けば、絶対斉次性によって

 半正定値性


が従う。また  を考えることで、




が分かる。
また、三角不等式を  に適用して

 逆向き三角不等式


の成立も確かめられる。
さらに、半ノルムがとなることは、絶対連続性が正斉次性を導くことから従い、半ノルムの凸性も

と確かめられる。逆に、絶対斉次凸函数は劣線型であり、したがって半ノルムになる（それを確かめるには、凸性を表す式で  と置いて全体を  倍すればよい）。

 商ノルム空間 

絶対斉次性と劣加法性から、のベクトル全体の成す集合

が  の部分線型空間となることが従う。ここで  上の同値関係  が

によって定まる。この同値関係に関する同値類全体の成す集合  は、線型空間として商線型空間  であり、半ノルム  に関してノルム空間となる。これを  の半ノルム  による商ノルム空間と言う。

このような構成は、例えばL-空間の定義に用いられる。

 半ノルム族 

函数解析学の分野において局所凸線型空間は、半ノルムの族  によってしばしば定義される。これによりもとの線型空間  に位相が入り、 は位相線型空間となる。

そのためにまず、部分集合  が開であるとは、適当な  に対し、 と有限個の添字  が存在して、任意の  に対して

となるときに言うと定める。

この文脈において、特定の分離性条件を満足する半ノルム族が特に注目される。半ノルム族  が分離的 (separated) あるいは完全 (total) であるとは、各  に対し、少なくとも一つの半ノルム  が存在して  となるときに言う。線型空間  が先に述べた半ノルム族の定める位相に関してハウスドルフ（分離的）となるのは、ちょうど半ノルム族が分離的となるときである。そのような位相線型空間は局所凸空間と呼ばれる

 注 
 注釈 

 出典 

 参考文献 

 関連項目 
 ノルムの一般化: 準ノルム /  / Fノルム etc.

 外部リンク 





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