双曲型平衡点

数学の力学系の研究において、双曲型平衡点（そうきょくがたへいこうてん、）あるいは双曲型不動点（そうきょくがたふどうてん、）とは、を持たない不動点のことを言う。双曲点の近くで、二次元の非散逸的な系の軌道は双曲線に似たものとなる。しかしこの事実は一般には成立しない。Strogatz は、「双曲型とは、必ず『鞍点』であることを意味するように聞こえるため、不幸な名前である。しかしその呼び名が標準的となっている」と注意している。双曲型点の近傍において、いくつかの性質が成り立つ。特に重要なものを以下に挙げる：

 安定多様体と不安定多様体が存在する；
 擬軌道尾行が生じる；
 不変集合上での挙動はによって表現できる；
 自然測度が定義される；
 系は構造安定である。


 写像 

T : Rn → Rn は C1 写像で、p はその不動点とする。ヤコビ行列 DT(p) が単位円上に固有値を持たないとき、p は双曲型不動点と呼ばれる。

唯一つの不動点が双曲型であるような写像の一例として、次のアーノルドの猫写像が挙げられる：

実際、固有値は次のようになる。



 フロー 

F : Rn → Rn を、臨界点 p を持つ C1 ベクトル場とする。すなわち F(p) = 0 が成立するものとする。また J を F の p におけるヤコビ行列とする。行列 J に実部がゼロとなる固有値が存在しないとき、p は双曲型と呼ばれる。双曲型平衡点はまた、双曲型臨界点（hyperbolic critical point）あるいは初等的臨界点（elementary critical point）とも呼ばれるRalph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin/Cummings Publishing, Reading Mass. ISBN 0-8053-0102-X。

ハートマン＝グロブマンの定理によると、双曲型平衡点のある近傍における力学系の軌道構造は、線型化力学系の軌道構造と位相共役となる。

 例 

次の非線型系を考える。

この唯一の平衡点は (0, 0) である。そこでの線型化は

.

となる。この行列の固有値は  である。すべての値の α ≠ 0 に対し、これらの固有値は実部がゼロとなることはない。したがって、この平衡点は双曲型平衡点である。この線型化系は、(0, 0) の近くでの非線型系と同様の挙動を示す。α = 0 のとき、この系は (0, 0) において双曲型ではない平衡点を持つ。

 注意 

無限次元系 - 例えば時間遅れを含む系 - の場合、「スペクトルの双曲部」（hyperbolic part of the spectrum）の概念が、上述の性質のことを指す。

 関連項目 


 双曲型集合


 脚注 

Category:力学系
Category:極限集合
Category:安定性理論
Category:数学に関する記事