正則ベクトル束

数学において，正則ベクトル束（せいそくベクトルそく，）とは，複素多様体  上の複素ベクトル束であって，全空間  が複素多様体であり射影  が正則であるようなものである．基本的な例は複素多様体の正則接束とその双対正則余接束である．正則直線束 (holomorphic line bundle) は階数が 1 の正則ベクトル束である．

セールの GAGA により，滑らかな複素射影多様体 （複素多様体と見る）上の正則ベクトル束の圏は， 上の（すなわち階数が有限の局所自由層）の圏と同値である．

自明化を通した定義
具体的には，局所自明化写像

は双正則であることを要求する．これは変換関数

が正則であると要求することと同値である．複素多様体の接束上の正則構造は，ベクトル値正則関数の（適切な意味での）微分がそれ自身正則であることに注意すると保証される．

正則切断の層
 を正則ベクトル束とする．局所切断  が正則 (holomorphic) であるとは，それが  の各点の近傍においてある（同値だが任意の）自明化において正則であることをいう．

この条件は局所的である，つまり正則切断たちは  上の層をなす．この層は  と書かれることがある．そのような層は必ずベクトル束と同じ階数の局所自由である． が自明な直線束  であるとき，この層は複素多様体  の構造層  と一致する．

正則ベクトル束に値を持つ形式の層
 で  型の  微分形式の層を表すと， に値を持つ  型形式の層はテンソル積

として定義できる．

これらの層は細層である，つまり1の分割を持つ．

滑らかなベクトル束と正則ベクトル束の間の基本的な差異は，後者にはと呼ばれる標準的な微分作用素

が存在することである．それは局所座標において反正則微分を取ることによって得られる．

正則ベクトル束のコホモロジー
 が正則ベクトル束であるとき， のコホモロジーは  の層係数コホモロジーと定義される．とくに，

 の大域正則切断の空間，となる．また， は  による  の自明直線束の拡大，つまり，正則ベクトル束の完全列 , の群をパラメトライズする．群構造については，やも参照．

ピカール群
複素微分幾何の文脈では，複素多様体  のピカール群  は，正則直線束の同型類の群であって，積はテンソル積，逆元は双対である．それは消えない正則関数の層の一次コホモロジー群  として定義することもできる．

正則ベクトル束上のエルミート計量

 を複素多様体  上の正則ベクトル束とし， 上にエルミート計量が存在するとする，つまり，ファイバー  に滑らかに変化する内積  が備わっているとする．すると複素構造と計量構造の両方と両立する  上の接続  が一意的に存在する．つまり， が次のような接続である：
(1)  の任意の滑らかな切断  に対して， ただし  は の  成分を取る．
(2)  の任意の滑らかな切断 ,  と  上のベクトル場  に対し，

ただし  による  の contraction を  と書いた．（これは  によるが計量  を保存すると言っても同じである．）

実際， が正則枠であるとき， とし，  を等式  によって定義する．この等式をより単純に次のように書く：

 を基底の正則な変換  による別の枠とすると，

であり，したがって  は確かに接続形式であって， によって  を生じる．今， であるから，

つまり， は計量構造と両立する．最後に， は  形式であるから， の  成分は  である．

 を  の曲率形式とする． は二乗して零になるから， は  成分を持たず， は歪エルミートであることが容易に示せるから例えば， 上のエルミート計量の存在は，枠束の構造群がユニタリ群に帰着され， がこのユニタリ群のリー環（歪エルミート行列からなる）に値を持つことを意味する．，それはまた  成分ももたない．したがって， は次で与えられる  形式である：

曲率  は正則ベクトル束の高次コホモロジーの消滅定理，例えば小平の消滅定理や，において顕著に現れる．

 脚注 

 参考文献 


 関連項目 

セール双対性

 外部リンク 
http://mathoverflow.net/questions/87719/splitting-principle-for-holomorphic-vector-bundles/

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