数論トポロジー

数論トポロジー (arithmetic topology) とは、代数的整数論と位相幾何学を組み合わせた数学の分野である。数論トポロジーは数体と向き付け可能な の間の類似を確立する。

類似
次のことは数学者により使われている数体と 3 次元多様体の間のいくつかの類似である。Sikora, Adam S. "Analogies between group actions on 3-manifolds and number fields." Commentarii Mathematici Helvetici 78.4 (2003): 832-844.
数体と向き付け可能な 3 次元閉多様体との対応
整数環のイデアルは、絡み目と対応し、素イデアルは結び目と対応する。
有理数体 Q は 3次元球面と対応する。

後ろ 2つの例を拡張し、素数と素数の間の「絡まり」(link)を考える結び目と素数の間の類似が存在する。素数の三つ組  は modulo 2 で「絡まっている」（は −1 である）が、modulo 2 で「どの 2 つも絡まっていない」（ルジャンドル記号はすべて 1 である）。これらの素数は、「固有ボロミアン三つ組み modulo 2」と呼ばれる、かまたは、「mod 2 ボロミアン素数」と呼ばれる。

歴史
1960年代、類体論はトポロジカルな解釈がジョン・テイト (John Tate) によりガロアコホモロジーに基づいて与えられJ. Tate,  Duality theorems in Galois cohomology over number fields, (Proc. Intern. Cong. Stockholm, 1962, pp. 288-295).、またミハイル・アルティン(Michael Artin) と (Jean-Louis Verdier) によってもエタールコホモロジーに基づいて与えられているM. Artin and J.-L. Verdier,  Seminar on étale cohomology of number fields, Woods Hole, 1964.。デヴィッド・マンフォード (David Mumford) は（独立にユーリ・マニン (Yuri Manin) によっても）、素イデアルと結び目の類似性が指摘されWho dreamed up the primes=knots analogy? , neverendingbooks, lieven le bruyn's blog, may 16, 2011,、バリー・メイザー (Barry Mazur) によりさらに深く研究されたRemarks on the Alexander Polynomial, Barry Mazur, c.1964B. Mazur, Notes on ´etale cohomology of number fields, Ann. scient. ´Ec. Norm. Sup. 6 (1973), 521-552.。1990年代、レズニコフ (Reznikov)A. Reznikov, Three-manifolds class field theory (Homology of coverings for a nonvirtually b1-positive manifold), Sel. math. New ser. 3, (1997), 361–399. とカプラノフ (Kapranov)M. Kapranov, Analogies between the Langlands correspondence and topological quantum field theory, Progress in Math., 131, Birkhäuser, (1995), 119–151. は、これらの類似の研究を開始し、この研究分野に数論トポロジーということばをあてはめた。

関連項目
数論幾何
数論力学
位相的場の理論
ラングランズ・プログラム

参考文献

関連文献

Masanori Morishita (2011), Knots and Primes, Springer, ISBN 978-1-4471-2157-2

Masanori Morishita (2009), Analogies Between Knots And Primes, 3-Manifolds And Number Rings
Christopher Deninger (2002), A note on arithmetic topology and dynamical systems
Adam S. Sikora (2001), Analogies between group actions on 3-manifolds and number fields
Curtis T. McMullen (2003), From dynamics on surfaces to rational points on curves
Chao Li and Charmaine Sia (2012), Knots and Primes

外部リンク
Mazur’s knotty dictionary

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