合成体

拡大  のいくつかの性質は合成体への拡大  に持ちあがる。その様子はあたかもそれらが平行四辺形を成すようである 
数学における体の合成あるいは合成体（ごうせいたい、）は、それら体をすべて含む最小の体を言う。

 が適当な体  の部分体であるとき、（内部）合成体  は、体  に  を添加して得られる体  として定義される。これは、 の元の -係数線型結合の全体に一致し、また  をともに含む  の部分体すべての交わりにも一致する。この体の添加は対称的で、 が成り立つ。

 がともに第三の体の部分体となることが明らかでないときには、（外部）合成体が体のテンソル積を用いて定義される。

 が体の拡大  の中間体で、ともに  の有限次拡大のとき、合成体の拡大次数は個々の拡大次数の最小公倍数以上、積以下:  である。特に  が線型無関連ならば、 が成り立つ。これは例えば。 それぞれの拡大次数が互いに素なときに起きる。

共通の拡大体を持つ任意個数の体の合成も考えることができる。例えば、代数的数全体の成す体は、有理数体  の任意の有限次拡大体を部分体として含み、それら有限次拡大体すべての合成体に等しい。

ガロア理論の枠組みにおいて、以下が成立する:

 を  の共通の部分体とし、 がガロワ拡大であるとき、
 拡大  および  はガロワ拡大であり、
 写像の定義域の制限によってガロワ群の間の群同型  が成り立つ。

 出典 

 参考文献 

 , especially chapter 2

 外部リンク 



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