環の直積

数学において、いくつかの環を1つの大きい直積環（ちょくせきかん）、積環 (せきかん、) に合併することができる。これは次のようにされる： I がある添え字集合で Ri が I のすべての i に対して環であれば、カルテジアン積  は演算を 成分ごとの演算として定義することによって環にできる。

得られる環は環 Ri の直積 () と呼ばれる。有限個の環の直積は環の直和と一致する。

 例 
重要な例は整数の n を法とした環 Z/nZ である。n が素数のベキの積

ただし pi は相異なる素数、として書かれていれば（算術の基本定理を見よ）、Z/nZ は自然に直積環

と同型である。これは中国剰余定理から従う。

 性質 
 が環の積であれば、すべての i ∈ I に対して、i 番目の座標に積を射影する全射環準同型  がある。射影 pi とともに積 R は、以下の普遍性をもっている：

これは環の積が圏論の意味での積の例であることを示している。しかしながら、I が有限のときには環の直和とも呼ばれるにもかかわらず、環の直積は圏論の意味で余積ではない。とくに、I が1つより多くの元をもっていれば、包含写像  は環準同型ではない、なぜならばそれは Ri の単位元を R の単位元に写さないからだ。

各 i ∈ I に対して Ai が Ri のイデアルであれば、 は R のイデアルである。I が有限であれば、逆が正しい、すなわち R のすべてのイデアルはこの形である。しかしながら、I が無限で環 Ri が 0 でなければ、逆は間違いである。有限個を除いてすべてが 0 でない座標の元全体の集合は Ri たちのイデアルの直積ではないイデアルをなす。Ai の1つを除くすべてが Ri に等しく残りの Ai が Ri の素イデアルであれば、イデアル A は R の素イデアルである。しかしながら、I が無限のとき逆は正しくない。例えば、Ri の直和はどんなそのような A にも含まれないイデアルをなすが、選択公理によって、a fortiori に素イデアルである極大イデアルに含まれる。

R の元 x が単元であることとその 成分 のすべてが単元であることは同値である、すなわち  がすべての i ∈ I に対して Ri の単元であることは同値である。R の単元群は Ri の単元群の直積である。

1 つよりも多い 0 でない環の積は常に零因子をもつ： x が  を除いて座標がすべて 0 の積の元で y が  を除いて座標がすべて 0 の積の元 () であれば、積環において  である。

 参考文献 

 関連項目 
 直積 (Direct product)

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