ケイリー＝アロンホルトの微分作用素

数学において、ケイリー＝アロンホルトの微分作用素（ケイリー＝アロンホルトのびぶんさようそ)は、多項式環上で定義される三つの微分作用素である。作用素の名は19世紀のイギリスの数学者アーサー・ケイリーとドイツの数学者に因む。二次の特殊線形リー環の表現を与えており、古典的不変式論において、基本的な役割を果たす。

 定義 
 を不定元とし、標数0の体 K を係数とする多項式に対し、

で定義される、多項式環  上の微分  をケイリー＝アロンホルトの微分作用素という。

単項式  に対し、その次数 、重さ  は、

で定義される。

 の作用で次数  は不変であるが、重さ  については、

が成り立つ。

全ての項の次数が等しい多項式を同次多項式、全ての項の重さが等しい多項式を同重多項式という。同次同重多項式  に対し、その指数  を

で定めると

が成り立つ。

 二次特殊線形リー環の表現 
交換子積をで定めると、同士の交換子は、

の関係を満たす。

これは二次特殊線形リー環 の基底

が満たす関係

に対応している。

そこで、を対応関係

で与えれば、はを表現空間とするのリー代数の表現となる。

 参考文献 
 森川寿 『不変式論 (紀伊国屋数学叢書 (11))』岩波書店 (1977年) ISBN 978-4314701129

 関連項目 
 古典的不変式論
 リー代数の表現

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