Hom関手

Hom関手（ほむかんしゅ、）とは、対象の間の射の集合が構成する集合の圏への関手である。特に反変Hom関手  は、 の（）とも呼ばれる。

 記法 
Hom関手を表す記号には以下のようなものがある。なお、 は圏、 は対象である。




 ：共変Hom関手
 ：反変Hom関手

アンダースコア  や四角  は「空欄」を表し、ここに  の対象が入ると解釈できる。

定義
 を局所小圏任意のhom-クラスが真クラスではなく集合である圏。とする。 の任意の対象  と  に対し、次のように集合の圏  への関手を定義する。

共変関手 ：
対象への作用：  の各対象  を集合  へ写す写像。
射への作用：  の各射    を、  で定義される写像  へ写す写像。
反変関手 ：
対象への作用：  の各対象  を集合  へ写す写像。
射への作用：  の各射  を、 で定義される写像  へ写す写像。

 Hom関手間の自然変換と双関手 
関手の組  と  は自然な方法で関係付けられる。

任意の射のペア と  に対して、次の図式が可換となる。


2つの経路は  を に写す。

上の図式の可換性は、 が  から  への、第1変数について反変で第2変数について共変であるであることを示している。すなわち、 は双関手である。 は  の双対圏である。

米田の補題

上の可換図式を見ると、すべての射  は自然変換を与え、すべての射 は自然変換を与える。米田の補題は、Hom関手の間の任意の自然変換はこの形であると主張する。言い換えると、Hom関手は、圏  から関手圏  への埋め込みとなる充満忠実関手を与える。

内部Hom関手
圏  上の関手が、 ではなく圏  自身に値を持ち、 のような振る舞いをする関手を持っているかもしれない。そのような関手は内部Hom関手と呼ばれ、しばしば

と書かれたり、と書かれたりする。あるいは、単に小文字のみで

と書かれることもある。例としては:en:Category of relationsなどを参照。内部Hom関手を持つ圏は、と呼ばれる。

閉圏の単位対象を  とする。このとき、次の同型が成り立つ。閉モノイダル圏の場合には、これはカリー化の概念へ拡張される。すなわち、

である。ここで  はモノイダル圏の定義によって与えられる内部積関手である。同型は  と  の双方で自然である。言い換えると、閉モノイダル圏では、内部Hom関手は内部積関手の随伴関手である。対象  を内部Homと呼ぶ。 がデカルト積  であるとき、対象  を指数対象と呼び、 と書くこともある。

内部Homは、圏のと呼ばれる言語を形成する。最も有名なものには、デカルト閉圏の内部言語である単純型付きラムダ計算や、対称モノイダル閉圏の内部言語であるがある。

性質

 次の形の関手は前層である：同様に、 の形の関手は余前層である。

 関手  がある  と自然に同型であるとき、 は表現可能関手であるという。同様に、 に自然同型な関手は余表現可能と呼ばれることもある。

 関手  は定義からであり、特に恒等プロファンクタ  である。

 内部hom関手は極限を保存する。すなわち、 は極限を極限へ写し、同様に  は  の極限（すなわち  の余極限）を  の極限に写す。ある意味では、このことは極限や余極限の定義として採用することもできる。

  をアーベル圏、 を  の対象とすると、 は、 からアーベル群の圏  への左完全共変関手である。この関手が完全であることと、A が射影的対象であることとは同値であるJacobson (2009), p. 149, Prop. 3.9.。

  を環、 を左 -加群とする。関手  は、テンソル積関手  の右随伴関手である。

関連項目
 Ext関手
 関手圏
 表現可能関手

 脚注 

参考文献




 外部リンク 
 Hom functor at n-lab url=http://ncatlab.org/nlab/show/hom-functor
 Internal Hom at n-lab url=http://ncatlab.org/nlab/search?query=Internal+Hom

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