双対束

数学において、ベクトル束  の双対束 (dual bundle) はファイバーが  のファイバーの双対空間であるようなベクトル束  である。双対束はの双対表現をとることによって  construction を使うことによって構成することができる。

具体的には、変換関数が  の  の局所自明化が与えられると、 の局所自明化は  のと同じ開被覆によって変換関数は （転置の逆）で与えられる。すると双対束  は  を使って構成される。

例えば、可微分多様体の接束の双対は余接束である。

底空間  がパラコンパクトかつハウスドルフであれば、実の有限ランクのベクトル束  とその双対  はベクトル束として同型である。しかしながら、ベクトル空間と全く同じように、 に内積が与えられていない限り同型の選択は存在しない。これは複素ベクトル束の場合には正しくない、例えばリーマン球面上の (tautological line bundle) はその双対と同型でない。

脚注

参考文献
今野宏、『微分幾何学』 東京大学出版会、〈現代数学への入門〉、2013年、ISBN 9784130629713。

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