凸結合

数学のの分野において、凸結合（とつけつごう、）とは、和が 1 となるような非負係数を持つ点（ベクトルやスカラー、あるいはより一般にアフィン空間の点）の線型結合である。

より正式に、実ベクトル空間に有限個の点  が与えられたとき、それらの凸結合は次の式で表される点である。

ただし実数  は  および  を満たすものである。

特別な一例として、二点の間のすべての凸結合は、それらを結ぶ線分の上に存在する。

すべての凸結合は、与えられた点の凸包の中に含まれる。

線型結合の下で閉じていないが、凸結合の下で閉じているベクトル空間の部分集合が存在する。例えば、区間  は凸であるが、線型結合の下では実数直線全体を生成する。また別の例として、線型結合が非負性、アフィン性（積分の総和が 1）のいずれも保存しない確率分布の凸集合が挙げられる。

 他の概念 
 同様に、確率分布  の凸結合  は、その成分確率分布の加重和（ には上述と同様の制限が課される）であり、次の確率密度函数を備える。

 関連する構成 

 錐結合は、非負係数による線型結合である。
 加重平均は機能的には凸結合と同じであるが、記法としては異なる。加重平均の係数（重み）和は 1 である必要はないが、その代わりにその（係数）和で線型結合を明示的に割っている。
 アフィン結合は凸結合と似ているが、その係数は非負である必要はない。したがってアフィン結合は、任意の体上のベクトル空間において定義される。

 関連項目 
 アフィン包
 カラテオドリの定理 (凸包)
 凸包
 単体 (数学)


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Category:解析学
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