中心 (代数学)

数学の分野である代数学において、多元環や群などの中心 (, ) は考えている構造の部分集合であって、乗法に関してすべての元と交換する元全体からなる。

 群の中心 

 を群とすると、その中心は集合

である。

 性質 

 の中心は部分群である。なぜならば、 と  を  の元とすると、任意の  に対して、

なので、 も中心に入る。同様にして、 も中心に入る。
.
群の単位元  は常に中心に入る。.

中心はアーベル群で  の正規部分群である。 の特性部分群でもある、つまりすべての自己同型で不変である。中心は強特性 (strictly characteristic) でさえある、つまりすべての全射自己準同型で不変である。 がアーベル群であることと  は同値である。

中心はちょうど、 による共役、すなわち  が恒等写像であるような、 の元  からなる。したがって中心を中心化群の特別な場合としても定義できる。 である。

 例 

   の中心は単位元  のみからなる、なぜならば：

 二面体群  は正方形が全く動かないような平面の動きからなる。それは正方形の中心を中心とする角度 0°, 90°, 180°, 270°の回転と、2つの対角線および正方形の平行する辺の中点を通る2つの直線による4つの鏡映からなる。この群の中心はちょうど 0°と 180°の2つの回転からなる。
 実数を成分に持つ可逆 n×n-行列の乗法群の中心は単位行列の（0 でない）実数倍からなる。

 環の中心 
環 R の中心は環の元であってすべての元と交換するものからなる。

中心  は R の可換な部分環である。環が中心と等しいことと可換であることは同値である。

 結合多元環の中心 
結合多元環 A の中心は可換な部分多元環

である。多元環がその中心と等しいことと可換であることは同値である。

 リー代数の中心 
 定義 
リー代数  の中心は（可換な）イデアル

である。ただし  はブラケット積、つまり  の積を表す。リー代数がその中心に等しいことと可換であることは同値である。

 例 
 一般線型群  の中心は単位行列  のスカラー倍からなる。
.
 交換子をブラケット積とする結合多元環に対して2つの中心の概念は一致する。

 参考文献 
Kurt Meyberg: Algebra - Teil 1. Hanser 1980, ISBN 3-446-13079-9, S. 36

 外部リンク 
Centre of a group (Encyclopaedia of Mathematics)
Centre of a ring (Encyclopaedia of Mathematics)
Zentrum in verschiedenen algebraischen Strukturen (PlanetMath)

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