5項補題

数学、特にホモロジー代数学やアーベル圏の理論の応用において、5項補題（ごこうほだい、）、ファイブ・レンマは、可換図式についての重要で広く用いられる補題である。この補題は、完全列の性質を利用して対象間の同型を証明するために用いられ、アーベル圏のみならず、群の圏においても成立する。

5項補題は2つの他の定理、four lemmas を合わせたものと考えることができる。この2つは互いに双対である。

 ステートメント 
任意のアーベル圏（アーベル群の圏や与えられた体上のベクトル空間の圏など）や群の圏において以下の可換図式を考える。

file:5 lemma.svg

5項補題は次のものである。図式における2つの行が完全であり、各垂直な射について、m と p が同型、l がエピ射、q がモノ射であれば、中央の n も同型である。

ここで、上段の水平な射を f, g, h, i、下段の水平な射を f', g', h', i' と表記する。

2つの4項補題は以下のものである。
(1) 可換図式

file:4 lemma right.svg

の行が完全で m と p がエピ射で q がモノ射ならば、n はエピ射である。

(2) 可換図式

file:4 lemma left.svg

の行が完全で m と p がモノ射で l がエピ射ならば、 n はモノ射である。

 証明 
これから行う証明で使われる手法は一般に (diagram chasing) と呼ばれるMassey (1991),
.。2つの4項補題を別々に証明することによって5項補題を証明する。

図式追跡（diagram chasing）を行うため、ミッチェルの埋め込み定理を用いる。この定理により、任意の（小さい）アーベル圏は、ある環上の加群の圏として表現可能であるため、図式内の対象の「元」を取り出し、射をその元に作用する準同型写像として扱うことができる。 加群の圏において、射がモノ射であることは単射であることと同値であり、エピ射であることは全射であることと同値である。同様に、完全性は写像の核と像を用いて議論できる。なお、群の圏に対しても同様の議論が可能であるが、以下の証明で用いる加法的な表記（+）を乗法的な表記（積）に置き換える必要がある。ここでは対象となる群が必ずしも可換（アーベル群）である必要はない。

さて、(1) を証明するために、m と p が全射で q が単射であると仮定する。

file:4 lemma right.svg
 c′ を C′ の元とする。
 p は全射なので、ある元 d ∈ D が存在して、p(d) =  t(c′).
 図式の可換性より、u(p(d)) = q(j(d)).
 完全性より im t = ker u なので、0 = u(t(c′)) = u(p(d)) = q(j(d)).
 q は単射なので、j(d) = 0 であり、d は ker j = im h の元である。
 したがってある c ∈ C が存在して h(c) = d.
 すると t(n(c)) = p(h(c)) = t(c′) である。t は準同型なので、t(c′ − n(c)) = 0 である。
 完全性より、c′ − n(c) は s の像に入っているので、ある b′ ∈ B′ が存在して、s(b′) = c′ − n(c).
 m は全射なので、ある b ∈ B が存在して、b′ = m(b).
 可換性により、n(g(b)) = s(m(b)) = c''' − n(c).
 n は準同型なので、n(g(b) + c) = n(g(b)) + n(c) = c′ − n(c) + n(c) = c′.
 したがって、n は全射である。

次に、(2) を証明するために、m と p が単射で l が全射と仮定する。

file:4 lemma left.svg
 c ∈ C を n(c) = 0 であるような元とする。
 すると t(n(c)) は 0 である。
 可換性より、p(h(c)) = 0.
 p は単射なので、h(c) = 0.
 完全性により、ある b ∈ B が存在して、g(b) = c.
 可換性により、s(m(b)) = n(g(b)) = n(c) = 0.
 すると完全性により、ある元 a′ ∈ A′ が存在して、r(a′) = m(b).
 l は全射なので、a ∈ A が存在して、l(a) = a′.
 可換性より、m(f(a)) = r(l(a)) = m(b).
 m は単射なので、f(a) = b.
 よって c = g(f(a)).
 g と f の合成は自明なので、c = 0.
 したがって n は単射である。

今2つの4項補題を合わせることで5項補題全体が証明される。

 応用 
5項補題はしばしば長完全列に適用される。与えられた対称のホモロジーやコホモロジーを計算するとき、大体はホモロジー／コホモロジーのわかっているより単純な部分対象を使って、もとの対象の、わかっていないホモロジー群を含む長完全列を得る。これだけではわかっていないホモロジー群を決定するには十分でないが、もとの対象と部分対象を射を通じてよくわかっている対象と比べれば、それぞれの長完全列の間の射が誘導され、したがって5項補題をわかっていないホモロジー群を決定するのに使うことができる。

 関連項目 
 、5項補題の特別な場合で、短完全列に対するもの
 蛇の補題、diagram chasing によって証明できる別の補題
 9項補題

 脚注 

 参考文献 
 W. R. Scott: Group Theory'', Prentice Hall, 1964.


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