積閉集合

抽象代数学における積閉集合（せきへいしゅうごう、）あるいは乗法的集合（じょうほうてきしゅうごう、）は、（有限）積に関して閉じている集合を言うEisenbud, p. 59.。

積閉集合は特に可換環論において重要である。そこでは積閉集合が環の局所化の構成に用いられる。

 定義 
単位的環  の部分集合  が積閉あるいは乗法的であるとは、以下の二つの条件
 ,

を満たすときに言うAtiyah and Macdonald, p. 36.Lang, p. 107.。別な言葉で言えば、積閉集合  は環  の乗法モノイドのである。空積は  に等しいものと約束すれば、上記の二条件は「 は有限積をとる操作について閉じている」ことと等価である。

同様に、環  の部分集合  が飽和 (saturated) であるとは、それが「をとる操作に関して閉じている」() ときに言う。

 例 
よくある積閉集合の例として以下のようなものが挙げられる:
 可換環の素イデアルの補集合。
 環の元  を固定するとき、集合 。
 環の単元全体の成す集合。
 環の非零因子全体の成す集合。
 イデアル  に対する 。

 性質 
 可換環  のイデアル  が素イデアルであるための必要十分条件は、補集合  が積閉であることである。 
 部分集合  が積閉かつ飽和となる必要十分条件は、それが素イデアルの合併の補集合となることであるKaplansky, p. 2, Theorem 2.。特に素イデアルの補集合は積閉かつ飽和である。
 積閉集合からなる族の交わりはまた積閉である。
 飽和集合からなる族の交わりはまた飽和である。

 関連項目 
 環の局所化



 注 

 参考文献 
 M. F. Atiyah and I. G. Macdonald, Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley, 1969.
 David Eisenbud, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, Springer, 1995.

 Serge Lang, Algebra 3rd ed., Springer, 2002.

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