形式的冪級数

数学において、形式的冪級数（けいしきてきべききゅうすう、）とは、（形式的）多項式の一般化であり、多項式が有限個の項しか持たないのに対し、形式的冪級数は項が有限個でなくてもよい。例えば、（ を不定元として）

は（多項式ではない）冪級数である。

 定義 
 を可換とは限らない環とする。 に係数をもち  を変数（不定元）とする（一変数）形式的冪級数 (formal power series) とは、各  () を  の元として、

の形をしたものである。ある  が存在して  のとき  となるようなものは多項式と見なすことができる。

形式的冪級数全体からなる集合  に和と積を定義して環の構造を与えることができ、これを形式的冪級数環という。和と積の定義は以下のようにする。

すなわち和と積は形式的に定義し、環の元と不定元は可換であるとする。

 より形式的な定義 
 を非負整数全体の集合とし、配置集合  すなわち  から  への関数（ に値を持つ数列）全体を考える。この集合に対し

によって演算を定めると、 は環になることが確かめられる。これが形式的冪級数環  である。

ここでの  は上の  と対応する。

 合成 
定数項が 0 の形式的冪級数は、別の冪級数に代入することができる。すなわち、 とすると、 は  次以下の項をもたないので、合成

が意味をもつ。例えば

は形式的冪級数としても正しい等式である。

 性質 
以下では  を単位元をもつ可換環とし、 とする。
  が  の単元であることと  が  の単元であることは同値である。
  が冪零であれば、すべての  は冪零である。逆は一般には成り立たないが、 がネーター環であれば成り立つ。
  がネーター環であれば、 もネーター環である。
  が整域であれば、 も整域である。
  が  のジャコブソン根基に属することと、 が  のジャコブソン根基に属することは同値である。

 形式微分 
 に対し、 を f の形式微分という。,  に対し、,  などが成り立つ。

これは（複素あるいは実の）収束冪級数と考えると項別微分に相当するものである。

 一般化 
 形式的ローラン級数 
有限個の負冪も許したものは形式的ローラン級数と呼ばれる。正確には次の形のものである。 を自然数、各  を可換環  の元として、
.
このような元全体は環をなし、形式的ローラン級数環といい、 と表記する。とくに  が体  であるとき、 も体であり、これは  の商体でもある。

 多変数の形式的冪級数 
任意の個数（無限個でもよい）の不定元をもった形式的冪級数を定義することができる。 が添え字集合であり  を  に対し不定元  全体の集合とすれば、単項式  は  の元の任意の有限個の（重複を許した）積である。係数を環  にもつ  の形式的冪級数は単項式  の集合から対応する係数  への任意の写像によって決定され、 と表記される。すべてのそのような形式的冪級数からなる集合を  と表記し、以下のように環の構造を与える。

および

一変数の場合と同様に、 である。

 の場合には、 とも書かれる。 である。

 性質 

 多項式とは異なり、一般には、「代入」は意味を持たない。無限個の和が出てきてしまうからである。
 しかし、例えば次のようなときには意味を持つ。可換環  はイデアル  による  進距離で完備であるとする。このとき  であれば、 の  に  を代入したものは収束する。
 ネーター環  上の多項式環  の、 による完備化は、 と同型である。これは  の  進位相による完備化とも同型である。
  がネーター環であれば、 もネーター環であり、 が整域であれば  も整域である。 が体であれば、 は正則局所環 である。

 参考文献 
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 Werner Balser: Formal Power Series and Linear System of Meromorphic Ordinary Differential Equations, Springer, ISBN 0-387-98690-1 (2000).
 荒川恒男、金子昌信、伊吹山知義　『ベルヌーイ数とゼータ関数』　牧野書店、2001年。ISBN 978-4-7952-0139-2。
 雪江明彦、『代数学3 代数学のひろがり』、日本評論社、2011年、ISBN 978-4-535-78661-5

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