正規拡大

抽象代数学において、体の代数拡大 L/K は、L が K[X] の多項式の族の分解体(splitting field)であるときに、正規（）という。ブルバキはそのような拡大を準ガロワ拡大(quasi-Galois extension) と呼んでいる。

 同値な性質、および例 

L/K の正規性は以下の性質のいずれとも同値である。Ka を K の L を含む代数的閉包とする。

 K 上恒等写像であるような L の Ka へのすべての埋め込み は σ(L) = L を満たす。言い換えると、σ は L の K-同型である。
 L に根をもつような K[X] のすべての既約多項式は L に根をすべてもつ。すなわち、L[X] において一次式に分解する。（多項式は L で 分解する (split) と言う。）

L が K の有限次分離拡大（例えば、これは K が有限体か標数 0 であれば自動的に満たされる）であれば、次の性質もまた同値である。

 根が K の元とともに L を生成するような既約多項式が存在する。（L はその多項式の分解体であると言う。）

例えば、 は  の正規拡大である。なぜならば、x2 − 2 の分解体だからである。一方、 は  の正規拡大ではない。なぜならば、既約多項式 x3 − 2 はその中に1つの根（すなわち ）をもつが、すべてではない（2 の虚3乗根をもたない）からである。

 は  の正規拡大でないという事実は上記3つの性質のうちの1つ目を使っても確かめられる。代数的数体  は  の代数的閉包であって  を含む。一方、

であり、ω を2の虚三乗根の1つとすれば、写像

は  の  への埋め込みであって、 への制限は恒等写像である。しかしながら、σ は  の同型写像ではない。

任意の素数 p に対して、拡大  は次数 p(p − 1) の正規拡大である。これは xp − 2 の分解体である。ここで  は任意の 1 の原始 p 乗根を表す。体  は  の正規閉包（下記参照）である。

 他の性質 

L を体 K の拡大とすると、

 L が K の正規拡大で E が中間体（すなわち L ⊃ E ⊃ K）であれば、L は E の正規拡大である。E は K の正規拡大とは限らない。
 E と F が L に含まれる K の正規拡大であれば、合成体 EF および共通部分 E ∩ F も K の正規拡大である。

 正規閉包 
K が体で L が K の代数拡大であれば、L の代数拡大 M が存在して M は K の正規拡大となる。しかも、同型を除いて、極小な、つまり、L を含み K の正規拡大であるような M の唯一の部分体は M 自身であるような、そのような拡大は唯一である。この拡大は K の拡大 L の正規閉包 (normal closure) と呼ばれる。

L が K の有限次拡大であれば、その正規閉包もまた有限次拡大である。

 関連項目 

ガロワ拡大
正規基底 (Normal basis)

 参考文献 




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