代数的な元

体論において、可換体  の拡大体  の元は、 係数の  でない多項式が存在してその根となっているときに、 上代数的であると言う。 上代数的でない元は  上超越的であると言う。

これは代数的数と超越数の概念の一般化である。代数的数は有理数体  の拡大体  の元であって、 上代数的な複素数である。したがって  は  上代数的な実数であって、自然対数の底  や円周率  は  上超越的な実数である。 上超越的な複素数は存在するが、すべての複素数  は実数体  上代数的である。なぜなら  の根だからである。

 特徴づけ 
 のすべての元  は明らかに  上代数的である、なぜならば  の根だからだ。より一般に、
  の有限次拡大体のすべての元  は  上代数的である。
実際、 の有限次（ 次としよう）拡大は  上有限次元のベクトル空間である。したがって  の間には線型従属な関係があり、 を根に持つ多項式が得られる。

代数的あるいは超越的な元という概念を、 と  を含む  の最小の部分環である  を使って特徴づけることができる。環  の元は  の多項式として書ける  の元である。すなわち  は多項式環  の  を  に写す環準同型  による像である。この準同型が単射でないことと多項式が  で消えることは同値である。また、 が  の多項式の根であれば、 は  が根体であるような既約多項式（前の多項式の因数）の根である。まとめると
 元  が  上超越的であることと、 と  が同型である（同型は φ によって与えられる）ことは同値である。
 元  が  上代数的であることと、 が体であることは同値である。
 を、 を含む  の最小の部分体とする（ の元は  の有理式として書けるような  の元である）。これによって再び定式化することができる。
 元  が  上代数的であることと  であることは同値である。
 元  が  上代数的であることと  の拡大  が有限次拡大であることは同値である。
（したがって1つ目の性質から、 上代数的な任意の元は  の有限次拡大の元である）。

 安定性 
この特徴づけによって次のことが証明できる。 上代数的な2つの元の和と積は  上代数的である。実際、 と  が  上代数的であれば、 と  は  に属する。これは  の  による拡大が  上したがって  上代数的であることからわかる。よって拡大  は  の、したがって  の、有限次拡大である（これは拡大次数の性質である）。そのすべての元は  上代数的である。

さらに、 上代数的な元  は  でなければその逆元は  を根にもつ多項式の相反多項式の根であり  上代数的である。結論：
  上代数的な  の元全体は  の部分体をなす。

 についての帰納法で次のことも言える。
  が（有限個の） 上代数的な元であれば、これらの元を  に添加して得られる拡大  のすべての元は  上代数的である。

すべての元が代数的であるような拡大を代数拡大と呼ぶ。代数拡大は有限次であるとは限らず、したがって有限個の代数的な元で生成されるとは限らない（記事代数拡大を参照）。

 次数と最小多項式 
K 上代数的な元の 次数 は拡大  の次数である。 は代数的なので、それは -ベクトル空間  の次元である。したがってそれはまた  の最小多項式（a が消える最小次数のモニック多項式）の次数でもある。

 結合多元環 
 の拡大  は体  上の結合多元環であり、定義はこの構造しか使っていない。したがってこれを一般化することができる。可換体 K 上の単位的結合多元環  の元が  上代数的であるとは、それを根にもつ  係数の  でない多項式が存在することである。体の拡大の場合と同様に、多元環  が  上有限次元のとき、 のすべての元は  上代数的である。

 参考文献 



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