正形式

複素幾何学では、正形式(positive form)とは、ホッジタイプ (p, p) の実形式である。

 (1,1)-形式 
複素多様体 M 上の実 (p,p)-形式は、タイプ (p,p) の実形式、つまり、交叉

を持つ形式である。実 (1,1)-形式   は正ということと、次の同値な条件が満たされることとは同値である。

 は正（必ずしも正定値である必要はない）の虚部を持つエルミート形式である。
(1,0)-形式の空間  のある基底  に対し、 は対角行列の形、非負な  をもつ実形式  と書くことができる。
任意の (1,0) 接ベクトル  に対し、
 を複素構造を決める作用素とすると、任意の実接ベクトル  に対し、 である。

 正のラインバンドル 

代数幾何学では、正の (1,1)-形式は、豊富なラインバンドルの曲率形式として現れる（また、正のラインバンドルとして知られている）。L を複素多様体上の正則なエルミートラインバンドルとすると、

は、複素多様体自身の複素構造を決める作用素である。従って、L は、エルミート構造を保存し、同時に、

を満たす一意な接続を持つ。

この接続をチャーン接続という。

チャーン接続の曲率  は、常に、純虚数 (1,1)-形式である。ラインバンドル L は、



が、正定値 (1,1)-形式であるとき、正であると呼ぶ。小平埋め込み定理は正のラインバンドルは豊富であり、逆に、任意の豊富なラインバンドルは  が正定値なエルミート計量を持つことを言っている。

  (p, p)-形式の正値性 

M 上の純 (1,1)-形式は、凸錐(convex cone)を形成する。M が次元  のコンパクトな複素曲面でれば、ポアンカレ双対

を考えると(self-dual)を持っている。

 のとき (p, p)-形式に対し、正値性に関して 2つの異なった考え方がある。正の実係数を持つ正形式の積の線型結合であるときは、強い正値性を持つといわれる。n-次元複素多様体 M 上の実 (p, p)-形式  は、コンパクトな台を持ち、強い正値性を持つすべての (n-p,n-p)-形式 ζ に対し、

であるときに、弱い正値性を持つといわれる。

弱い正値性と強い正値性は、凸錐を作る。コンパクトな多様体上では、これらの錐はポアンカレのペアについて(dual)である。

参考文献

Phillip Griffiths and Joseph Harris (1978), Principles of Algebraic Geometry, Wiley. ISBN 0-471-32792-1

J.-P. Demailly, L2 vanishing theorems for positive line bundles and adjunction theory, Lecture Notes of a CIME course on "Transcendental Methods of Algebraic Geometry" (Cetraro, Italy, July 1994).

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