巡回加群

数学において、巡回加群（じゅんかいかぐん、）とは、1つの元で生成される加群のことである。

 定義 
環 R 上の左加群 M が巡回加群であるとは、ある x ∈ M が存在して、 となることである。右加群についても同様に定義される。

 例 
 正則加群 RR は巡回 R-加群である。
 巡回群は巡回 Z-加群である。
 単純加群は巡回加群である。
 代数的閉体 F 上の線型空間 V をとる。線型作用素 T: V → V の固有値 λ に関する広義固有空間 V(λ) は巡回 F[T]-加群である。

 性質 
R を環とする。左 R-加群 M が巡回加群であるための必要十分条件は、M が RR の剰余加群となることである。具体的には、M = Rx のとき、準同型定理より  となる。ただし、 である。

巡回 Z-加群の部分加群は再び巡回加群であるが、一般の環上の巡回加群の部分加群は巡回加群とは限らないたとえば R = M = Z[x] とすると、その部分加群 2M + xM は巡回加群ではない。。

 脚注 

 参考文献 


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