リーマン和

リーマン和（リーマンわ、）とは、
実数区間  上の数列で  なるもの（これを区間の分割という）と、
その代表点  及び
区間  上で定義された実数値関数  を考えるとき

のことである。

リーマン和の分割を細かくしていった極限がリーマン積分
である『リーマン論文集』足立恒雄・杉浦光夫・長岡亮介編訳。
ニュートンとライプニッツがそれぞれ別々に、微分と積分の逆演算性を発見した。
最初にリーマン和を左リーマン和  と右リーマン和 の形で導入したのはオイラーであるが、
それは「積分の定義」としてではなく「積分の近似式」としてであった。
以後、ラクロワ、ポアソンを経て、コーシーが、積分の定義とし採用する。
コーシーよりも前の積分は、微分の定義に依存したニュートン・ライプニッツ以来の逆微分であり、微分と独立に定義されたものではなかった
二キフォロスキー著、馬場良和訳『積分の歴史 - アルキメデスからコーシー, リーマンまで -』現代数学社, 1993, pp.190 - 191
安部齊『微積分の歩んだ道』森北出版, 1989, pp.194 - 195。
"Euler は積分を微分の逆演算として定義しているが，Cauchy は定積分をまず定義した後，  を定理として導いた．こうした発想の逆転も Cauchy に負う．岩波『数学辞典』第四版, p.106"
これによって、微分の存在とは無関係に積分が定義できるようになった。

 リーマン和の具体例 

 被積分函数が単項式のとき   
例えば、 で  のとき
 等差数列 
等差数列  をとると、
左リーマン和と右リーマン和は、それぞれ、

となる遠山啓『微分と積分 - その思想と方法 -』日本評論社, 1970, pp.180 - pp.181 。

 等比数列 
等比数列  をとると、
左リーマン和と右リーマン和は、それぞれ、

となる。

 は で単調増加函数なので、等差数列か等比数列かに拘わらず、左リーマン和と右リーマン和の間で

の関係が成り立つ。
連続函数の左リーマン和と右リーマン和は、 の極限で収束するので、

が得られる。

 積分の結果が対数となるとき   
 で  のとき

等比数列  をとると、
左リーマン和と右リーマン和は、それぞれ、

となる遠山啓『微分と積分 - その思想と方法 -』日本評論社, 1970, pp.182 - pp.183 。
 は で単調減少函数なので、左リーマン和と右リーマン和の間で

の関係が成り立つ。
連続函数の左リーマン和と右リーマン和は、 の極限で収束するので、

が得られる。

 参考文献 

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わ
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