入射加群

数学において、入射加群（にゅうしゃかぐん、）、あるいは移入加群（いにゅうかぐん）とは、関手  が完全となるような加群  のことである。 
ホモロジー代数における基本的な概念のひとつ。

 動機 
一般の加群  に対して反変関手  は左完全である。
つまり任意の短完全列

に対して

は完全である。
この関手  が完全となる、つまり

が完全となる加群  のことを移入加群と呼ぶ。 

 移入加群の特徴づけ 
 を単位元をもつ環とし、以下では加群はすべて左  加群、射はすべて左  加群の準同型を指すことにする。
加群  が移入加群であることは次のいずれの条件とも同値である。

 関手  が完全である、つまり任意の短完全列   に対して  も短完全列である
 任意の単射  に対して  は全射である
 任意の加群  と正の整数  に対して 
 任意の巡回加群  に対して  
 任意の単射  と射  に対して  となる射  が存在する
Image:Injective module.png
 任意の単射準同型  は分裂単射
 任意の短完全列   は分裂する

 自己移入環 
環 R が自身の上の左加群として移入的であるとき、左自己移入環と呼ぶ。右自己移入環も同様。

 性質 
  はすべて移入加群 ⇔  は移入加群

 Baerの判定法 
左 R-加群 Q が移入加群であるための必要十分条件は、R の任意の左イデアル L と任意の準同型 L→Q に対して、その拡張 R→Q が存在することである。

 移入分解と移入次元 
加群  に対し、各  が移入加群であるような次の完全列

を  の移入分解という。任意の加群は移入分解をもつ。すべての  に対し  であるような移入分解を長さ  の移入分解という。そのような  が存在する場合その最小値を  の移入次元といい、存在しない場合は移入次元は  という。ただし、 の移入次元は  とする。移入次元は  と書かれる。-加群  と整数  に対して以下は同値。
 .
 任意の -加群  に対して、
 任意の i ≥ n+1 と任意の -加群  に対して、

 参考文献 




 関連項目 
 Ext群
 射影加群
 移入包絡
 可除群

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