ラウスの定理

幾何学におけるラウスの定理（ラウスのていり）とは、三角形とその内部に作られた三角形との比を決定する定理である。

この定理はエドワード・ラウスが1896年に書いた Treatise on Analytical Statics with Numerous Examples の82ページに登場する。

 定理 

三角形 ABC の BC 上に D を、CA 上に E を、AB 上に F をとる。
, ,  としたとき、三角形 ABC の面積に対する AD, BE, CF の3本の線で囲まれる三角形の面積は以下の式で表される。



一例として、x = y = z = 2 のときには元の面積の1/7の三角形(en)が作られる。xyz = 1 のときはこの式は0となるが、これはチェバの定理の逆が成り立つため3線が1点に集まるからである。

 証明 
三角形 ABC の面積を 1 とする。三角形 ABD と直線 FRC に対しメネラウスの定理を適用すると以下の式が得られる。

これを変形する。

三角形 ARC の面積は以下のように求まる。

同様に 、 が得られる。

以上から三角形 PQR の面積は以下のように求められる。




 参考文献 
 Murray S. Klamkin and A. Liu (1981) "Three more proofs of Routh's theorem", Crux Mathematicorum 7:199–203.
 H. S. M. コクセター (1969) Introduction to Geometry, statement p. 211, proof pp. 219–20, 2nd edition, Wiley, New York.
 J. S. Kline and D. Velleman (1995) "Yet another proof of Routh's theorem" (1995) Crux Mathematicorum 21:37–40
 Routh's Theorem, Jay Warendorff, The Wolfram Demonstrations Project. 

 Routh's Theorem by Cross Products at MathPages
 Ayoub, Ayoub B. (2011/2012) "Routh's theorem revisited", Mathematical Spectrum 44 (1): 24-27.

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