真性特異点

数学の複素解析の分野において、ある関数の真性特異点（しんせいとくいてん、）とは、その近くで関数が極端な挙動を取るような「悪い」特異点のことを言う。

真性特異点が分類されるカテゴリーは、「残り物」あるいは「特に取り扱いづらい」特異点の集団である。すなわち定義によると、ある方法で取り扱うことの出来る二つの特異点のカテゴリーである可除特異点と極に分類されないものが、真性特異点である。

 定義 

複素平面 C のある開部分集合 U を考える。a を U の元とし、 を正則関数とする。点 a がその関数 f の真性特異点であるとは、可除特異点および極のいずれでもないことを言う。

例えば、関数 f(z) = e1/z に対して z = 0 は真性特異点である。

 性質と特徴づけ 

a を複素数とし、f(z) は a で定義されないが複素平面内のある領域 U において解析的であるとする。また、a のすべての開近傍と U の交わりは空でないとする。

   および      のいずれも存在するなら、a は f および 1/f の可除特異点である。

   は存在するが      が存在しないなら、a は f の零点であり、1/f の極である。

   は存在しないが      は存在するなら、a は f の極であり、1/f の零点である。

    および      のいずれも存在しないなら、a は f および 1/f の真性特異点である。

その他の真性特異点の特徴として、その点における f のローラン級数の負の次数の項が無限個存在する（すなわち、そのローラン級数の主要部が無限和）というものがある。それに関連する真性特異点の定義として、ある a に対して、 がどんな整数 n > 0 に対しても微分可能でないなら、a は f (z) の真性特異点である、というものがある。

真性特異点の近くでの正則関数の挙動は、カゾラーティ・ワイエルシュトラスの定理とピカールの大定理によって記述される。後者の定理は、a が関数 f の真性特異点 であれば、a のすべての近傍において、関数 f は高々 1 点を除いてすべての複素数値を無限回取る、というものである。

 参考文献 

Lars V. Ahlfors; Complex Analysis, McGraw-Hill, 1979
Rajendra Kumar Jain, S. R. K. Iyengar; Advanced Engineering Mathematics. Page 920. Alpha Science International, Limited, 2004. ISBN 1-84265-185-4

 外部リンク 
  An Essential Singularity by Stephen Wolfram, Wolfram Demonstrations Project.
 Essential Singularity on Planet Math

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