フロイデンタールのスペクトル定理

数学におけるフロイデンタールのスペクトル定理（フロイデンタールのスペクトルていり、）とは、1936年にハンス・フロイデンタールによって証明されたリース空間論の一結果である。大まかに言うと、単項射影性質（principal projection property; 主射影性質）を持つリース空間内の一つの正元によって支配される任意の元は、ある種の単関数により一様に近似できる、ということが述べられている定理である。

数多くの有名な結果が、フロイデンタールのスペクトル定理から得られる。例えば、有名なラドン＝ニコディムの定理やポアソンの公式の正当性、正規作用素の理論によるスペクトル定理などは、フロイデンタールのスペクトル定理の特別な場合として従うことが示される。

 定理の主張 
 はリース空間  に属する任意の正元とする。 の正元  が  の成分 (component) であるとは、 が成立することを言う. Def.38.1。 が互いに素な  の成分であるとき、 の任意の実線型結合を -単関数と呼ぶ。

 定理 (Freudenthal). Thm.40.2 単項射影性質を持つリース空間  と  の任意の正元  について、 の生成する主イデアル内の任意の元  に対して、適当な -単関数列  および  が存在して、それぞれ下から単調に、および上から単調に、 に -一様に収束する。

 ラドン＝ニコディムの定理との関係 
 を測度空間とし、 を  上の符号付 -加法的測度の実空間とする。 はを備えるデデキント完備なバナッハ束であり、したがって主射影性を持つことが示される。任意の正測度  に対し、上述のように定義される -単関数は、 上の -可測単関数と（通常の意味で）ちょうど対応することが示される。さらに、フロイデンタールのスペクトル定理より、 によって生成される帯（band）内の任意の測度  は  上の -可測単関数によって下から単調な方法で近似されるため、ルベーグの単調収束定理より、 はある  関数に対応し、 によって生成される帯とバナッハ束  の間の等長束同型を構成することが示される。

 関連項目 
 ラドン＝ニコディムの定理

 注 

 参考文献 



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