エンリケス曲面

数学では、エンリケス曲面（エンリケスへいめん、）は、不正則数  で標準ラインバンドル  が非自明であるが、二乗すると自明となるような代数曲面である。エンリケス曲面は、みな射影的であり（従って複素数体上ではケーラー的であり）、種数0の楕円曲面である。標数が2ではない体上では、エンリケス曲面はK3曲面を不動点のない位数2の群で割った商であり、その理論は代数的K3曲面の理論に似ている。エンリケス曲面は最初にで詳細に研究された。で、エンリケスの研究に先立ち導入されたライエ合同（Reye congruences）のいくつかもまたエンリケス曲面の例である。

エンリケス曲面は他の体上でも定義される。標数が2でない体上で、 は理論が複素数上の理論と同じであることが示された。標数が2の体上では、定義が変更され、2つの新しい族が存在し、特異エンリケス曲面、超特異エンリケス曲面と呼ばれ、 に記載されている。

不変量
が偶数のときは、多重種数が1で、が奇数のときは、0である。基本群は位数が2である。二次コホモロジー群  は、階数10、符号-8の唯一の偶  と位数2の群との和に同型である。

ダイアモンド：

           1
       0       0
   0      10       0
       0       0
           1

印付きのエンリケス曲面は連結な 10-次元の族を形成し、 ではその族が有理的であることが示された。

標数 2 の場合

標数が 2 の場合は、エンリケス曲面の新しい族が存在し、準エンリケス曲面（quasi Enriques surfaces）、あるいは、非古典的エンリケス曲面（non-classical Enriques surfaces）、あるいは、（超）特異エンリケス曲面（ (super) singular Enriques surfaces）と呼ばれることもある。標数 2 の場合のエンリケス曲面の定義は変形されていて、極小曲面の標準クラス  が 0 に数値的に同値で、第二ベッチ数が 10 であると定義される。（2 以外の標数の定義は、この定義は通常の定義に同値である。）エンリケス曲面には 3つの族があることになる。

古典的： 、これは  であるが  は 0 でなく、 は  であることを意味する。そのような曲面は群スキーム  による被約な特異ゴレンシュタイン曲面（）の商である。
特異：   で、フロベニウス自己準同型が非自明に作用している。このことは  であり、 は  であることを意味する。そのような曲面は、群スキーム  によるK3曲面の商である。
超特異：   でフロベニウス自己準同型が自明に作用している。これは、 であり、 は  であることを意味する。そのような曲面は、群スキーム  による被約な特異ゴレンシュタイン曲面の商である。

全てのエンリケス曲面は楕円的か準楕円的である。

例

 ライエ合同（Reye congruence）は、 の中の 4次曲面の与えられた 3-次元線型系の内の少なくとも 2つの 4次曲面を持つ直線の族である。線型系が生成的（generic）であれば、ライエ合同はエンリケス曲面である。これらは  により発見され、エンリケス曲面の最も初期の例かもしれない。

 4面体の縁に沿った二重線を持つ 3次元射影空間の中の 6次曲面を、次のようにとる。
次数 2 の一般的な同次多項式に対し、

すると、この正規化はエンリケス曲面である。これは、により発見された。

 不動点を持つ対合によるK3曲面の商はエンリケス曲面であり、標数が 2 よりも大きな場合の全てのエンリケス曲面は、この方法で構成することができる。例えば、 を K3曲面  で、 を  を  とする位数 4 の自己同型とすると、 は 2つの不動点を持つ。これらの 2つの点をブローアップし、 による商をとると、不動点のない対合  を持つK3曲面が得られ、これの  による商はエンリケス曲面である。別のエンリケス曲面は、元の曲面を位数 4 の自己同型  による商をとり、商の 2つの特異点を解消することにより得ることができる。さらに別な例は、 の形の 3つの 4次曲面の交叉をとり、対合  から  による商を取る。生成的（generic）な 4次曲面に対し、この対合はK3曲面の不動点を持たない対合となるので、商はエンリケス曲面である。

参照項目

エンリケス・小平の分類

参考文献

Compact Complex Surfaces by Wolf P. Barth, Klaus Hulek, Chris A.M. Peters, Antonius Van de Ven ISBN 3-540-00832-2 This is the standard reference book for compact complex surfaces.

外部リンク
 Enriques surfaces

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