剰余体

数学において、剰余体（じょうよたい、）は可換環論における基本的な構成である。R を可換環、m を極大イデアルとしたとき、剰余体は剰余環 k = R/m のことを言う（これは体である）。しばしば R は局所環で、このとき m はその唯一の極大イデアルである。

この構成は代数幾何学へ応用される。スキーム X の各点 x に x の剰余体 k(x) が関連付けられる。少し大まかに言うと、抽象代数多様体の点の剰余体は、点の座標の「自然な領域」である。

定義
R を極大イデアル m をもつ可換局所環とすると、剰余体は、商環 R/m である。

さて、X をスキームとし、x を X の点とする。スキームの定義により、A をある可換環としてアフィン近傍 U = Spec(A) がある。近傍 U の中で考えると、点 x は素イデアル p ⊂ A と対応する（ザリスキー位相を参照）。x における X の局所環は、定義により局所化 R = Ap であり、これは極大イデアル m = p·Ap を持つ。上の構成を適用して、点 x の剰余体を得る。
k(x) := Ap / p·Ap.

この定義はアフィン近傍 U の取り方に依らないことが証明できる直感的には、点の剰余体は局所不変量である。スキームの公理は、点の様々なアフィン開近傍の間の整合性を保証するように設定されている。したがってステートメントを得る。。

ある体 K に対し、k(x) ⊂ K であるときに、点 x を K-有理点であると言う。

例
体 k 上の A1(k) = Spec(k[t]) を考える。k が代数的閉体であれば、素イデアルにはちょうど2つの種類

(t − a), a ∈ k 
(0), 零イデアル

が存在する。

剰余体は、

　k 上の一変数の関数体

である。

k が代数的閉体でなければ、さらに種類が発生する。例えば、k = R であれば、素イデアル (x2 + 1) は C と同型な剰余体を持つ。

性質
 体 k 上の局所のスキームに対し、点 x が閉であることと、k(x) が基礎体 k の有限次拡大であることとは同値である。これはヒルベルトの零点定理の幾何学的定式化である。上記の例では、1種類目の点は閉で、剰余体 k を持ち、2種類目の点はで、k 上超越次数 1 である。
 K をある体として、射 Spec(K) → X は、点 x ∈ X と体拡大 K/k(x) を与えることと同じである。
 体上の有限型のスキームのクルル次元は、生成点の剰余体の超越次数に等しい。

 脚注 

参考文献
 , section II.2

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