リースポテンシャル

数学におけるリースポテンシャル（）とは、その発見者であるハンガリーの数学者マルツェル・リースの名にちなむ、あるポテンシャルのことを言う。リースポテンシャルは、ユークリッド空間上のラプラス作用素の冪に対する逆を、ある意味において定義するものである。一変数のは複数変数へと一般化される。

0 < α < n であるとき、Rn 上の局所可積分函数 f のリースポテンシャル Iαf は、次式で定義される。

ただしこの定数は次で与えられる。

このは、f が無限大において十分急速に減衰する場合、well-defined となる。特に 1 ≤ p < n/α に対して f ∈ Lp(Rn)であるときに、well-defined となる。p > 1 であるなら、f の減衰率と Iαf の減衰率は不等式（）

によって関連付けられる。より一般に作用素 Iα は、0 < Re α < n を満たす複素数 α に対して well-defined である。

リースポテンシャルは、次の畳み込みとして、より一般に弱い意味で定義することが出来る：

ここで Kα は局所可積分函数

である。したがってリースポテンシャルは、f がコンパクトな台を持つ超函数である時はいつでも定義される。この点に関し、コンパクトな台を持つある正のボレル測度 μ のリースポテンシャルは、Iαμ がその μ の台を除く（連続な）劣調和函数であり、Rn 全体で下半連続であることから、ポテンシャル論における主要な興味を集めるものとなっている。

フーリエ変換を考えることで、リースポテンシャルはであることが分かる。実際、

であるので、畳み込み定理より

が得られる。

リースポテンシャルは、例えば急減少函数に対し、次の半群性を満たす：

ただし

が満たされているものとする。さらに、2 < Re α <n であるなら

が成立する。また、この函数のクラスに対しては

が成立する。

 関連項目 

 分数冪積分
 ソボレフ空間


 参考文献 

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