Q-類似

-類似（きゅーるいじ、）とは、理論に  の極限で、元の理論に一致するように径数  を導入するような拡張のことをいう。-拡張（）などとも呼ばれる。

そのような拡張は何通りも考えうるが、-数や、-微分や-積分を用いる-解析学の定義に基づいた拡張が一般的に用いられ、解析学や組合せ論、特殊関数、量子群などの分野に応用されている。

 概要 
 -数 
最も基本的な -数  （-整数や-ブラケット（）とも呼ばれる）とは、自然数  の -類似であって、 の極限で  となるように

と定義される。ただし、文献によっては、とくに量子群の文脈では、 で不変な

あるいは

と定義される。この記事では最初の定義を用いるが、他の定義でも後述の -階乗や-二項係数は -数を用いて同様に定義される。

 -階乗 
また-階乗  （）は、-数によって

と定義される。ただし  は-ポッホハマー記号を表す。

このとき  を  次の対称群、 を置換  の転倒数として、

が成り立つ。これは  の極限で、通常の階乗  が  個のものを並べる順列の総数を表すことに対応している。
また有限体  上の一般線型群  の位数は

と表せる。

 -二項係数 
-二項係数（）は、二項係数の -類似で、

によって定義される。 が素数のべきのとき、-二項係数は有限体  上の  次元線型空間内における  次元部分空間の数に等しい。

より一般に -多項係数は  のとき

によって定義される。
このとき

のようなよく知られた等式の類似が成り立つ。

 -二項定理 

-二項定理は、二項定理の-類似であり、

について、とするとき、

によって定義される。

これは、後述の-超幾何級数を用いて、

と表すことができる。　

また、-二項係数を用いて、

と表すこともできる。

 -ポッホハマー記号 

-ポッホハマー記号（，-シフト因子，-シフト階乗とも呼ばれる）は、ポッホハマー記号（昇冪）の-類似であり、-類似の計算において頻繁に現れ、有限積あるいは無限積を簡略化して表記するために用いられる。

によって定義され、有限積については、

と定義される。とくにのときは、

が成り立つ。

第二引数（基底と呼ばれる）がのときは、と略記され、複数の引数を持つ-ポッホハマー記号は、と分解される。

以下のように の極限を求めれば、ポッホハマー記号に一致する。

 -解析学 

 -微分 
-微分（-差分とも呼ばれる）は微分の -類似で、任意の関数  について -微分を

によって定義する。さらに導関数の -類似である -導関数は

によって定義されるFUNCTIONS q-ORTHOGONAL WITH RESPECT TO THEIR OWN ZEROS, LUIS DANIEL ABREU, Pre-Publicacoes do Departamento de Matematica Universidade de Coimbra, Preprint Number 04–32。

-導関数を求める演算は線形性を持つが、ライプニッツ則は の極限のみで成り立つ。

その他にも、以下のような性質が知られている。

 -積分 
-積分（）は、積分の-類似であり、不定積分は、

によって定義され、定積分は、

によって定義される。

-積分は-微分の逆演算であり、

となることからも確かめられる。

 初等関数の-類似 
 -指数関数 
-指数関数は、指数関数の-類似であり、

によって定義され、次のような同値の定義が用いられることもある。

指数関数の導関数が指数関数であるのと同様に、

が成り立つ。

とくに、可換性を持たず、を満たすような量子平面上の変数について、次のような指数法則が成り立つことが知られている。

 -対数関数 
-対数関数は、対数関数の-類似であり、

によって定義されるが、これは-指数関数の逆関数ではなく、これとは異なる定義も複数存在する。

また、で用いられる-指数関数および-対数関数は、-類似とは全く異なる点に注意が必要である。

 -三角関数 
-三角関数は、三角関数の-類似であり、-指数関数を用いて、

によって定義され、通常の三角関数と同様に正接、余接、正割、余割関数の-類似も定義される。

また、テータ関数を用いた次の定義も存在する。

 特殊関数の-類似 
 -ガンマ関数 
-ガンマ関数は、ガンマ関数の-類似であり、

によって定義される。

通常のガンマ関数のように、

が成り立ち、またが自然数のとき、

が成り立つ。

その他にも、以下のような性質が知られている。

また、-ベータ関数は、ベータ関数の-類似であり、-ガンマ関数を用いて、

と定義される。

さらに、-円周率は、円周率の-類似であり、

によって定義される。

 -ポリガンマ関数 
-ポリガンマ関数は、ポリガンマ関数の-類似であり、-ガンマ関数を用いて、

によって定義され、以下のような性質が成り立つことが知られている。

また、-オイラー定数は、オイラー定数の-類似であり、-ポリガンマ関数を用いて、

と定義される。

 -超幾何級数 

-超幾何級数は、超幾何級数の-類似であり、

によって定義される。

とくに、ガウスの超幾何関数の-類似は、

によって定義される。

 脚注 
 出典 

 参考文献 



 関連項目 
 一元体

 qポッホハマー記号
 q二項定理
 q超幾何級数






 外部リンク 



Category:組合せ論
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qきゆうるいし