ヴォイタ予想

数学では、ヴォイタ予想(Vojta's conjecture)は、(Paul Vojta)により導入された、代数体上の代数多様体の点の高さについての予想である。予想は、ディオファントス近似と複素解析のネヴァンリンナ理論(Nevanlinna theory)（値分布論）の間の類似を動機としていた。ヴォイタ予想は、多くのディオファントス近似論やディオファントス方程式、数論幾何、ロジックの予想を含んでいる。

予想の記述
 を数体とし、 非特異代数多様体、 を  上の悪くとも正規交叉を持つ有効な因子、 を  の上の豊富な因子、 を  の標準因子とする。 と  をヴェイユの高さ函数を選び、 上の各々の絶対値  に対し、局所高さ函数を  とする。 の絶対値  の有限集合を固定し、 とすると、上記の選択に依存しない定数   と空でないザリスキー開集合  が存在し、全ての  に対し、

を満たす。

 例 
１、  とすると、 であるので、ヴォイタ予想からは、すべての に対し、

であることが分かる。
２、  を、例えば、K3曲面やカラビ・ヤウ多様体のような自明な標準バンドルを持つ多様体とすると、ヴォイタ予想は、 を有効な豊富な正規交叉の因子とすると、アフィン多様体  上の -整な点は、ザリスキー稠密ではないことを予言する。
３、  を一般型の多様体、つまり、 が  のある空ではないザリスキー開集合上で豊富であるとすると、 に対し、ヴォイタ予想は、 は  上のザリスキー稠密でないことを予言する。この一般型多様体の命題は、(Bombieri-Lang conjecture)である。

一般化
 が  の上で変化するような一般化が存在し、体の拡大  の判別式とは独立な上限を持つ項が加わる。

非アルキメデス的な局所的高さ  が消去された局所的高さと置き換わる一般化が存在する。この高さでは、多重度を無視することが可能である。これらのヴォイタ予想には、ABC予想の自然な高次元類似をもたらすバージョンもある。

参考文献

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