バナッハ関数環

数学の関数解析学の分野において、あるコンパクトハウスドルフ空間 X 上のバナッハ関数環（バナッハかんすうかん、）とは、X を定義域とするすべての連続な複素数値関数からなる可換なC*-環の単位的部分環 A のことを言う。あるノルムが備えられることで、バナッハ環となる。

バナッハ関数環は、すべての  に対して f(p) = 0 となるようなある点 p が存在するなら、その点 p において消失する（vanish）と言われる。関数環は、異なる各点のペア  に対して  となるような関数  を含むとき、各点を分離する（separate）と言われる。

各  に対して、 を定める。このとき  は  上の非ゼロな準同型である。

定理 バナッハ関数環は半単純（すなわちそのジャコブソン根基が 0 に等しい）で、それぞれの可換な単位的半単純バナッハ環は（を通じて）その特性空間上のあるバナッハ関数環への同型である。ここで特性空間とは、A から複素数への環準同型で相対弱*位相が与えられるものからなる空間である。

 上のノルムが  上の一様ノルム（あるいは上限ノルム）であるなら、 は一様環と呼ばれる。一様環はバナッハ関数環の特別な場合として重要なものである。

 参考文献 
 H.G. Dales Banach algebras and automatic continuity

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