バーチの定理

数学において、バーチの定理（）B. J. Birch, Homogeneous forms of odd degree in a large number of variables, Mathematika, 4, pages 102–105 (1957)とは、奇数次形式における 0 の表現可能性に関する定理である。定理の名前はブライアン・バーチにちなむ。

定理の主張
K を代数体、k, l, n を自然数、r1, . . . ,rk を奇数の自然数とし、f1, . . . ,fk を n 変数で次数がそれぞれ r1, . . . ,rk の K 係数斉次多項式とする。ここで、

を満たすならば、Kn の l 次元部分ベクトル空間 V が存在して

を満たすような、ある数 ψ(r1, . . . ,rk,l,K) が存在する。

注意

定理の証明は形式 f1, . . . ,fk の最大次数についての帰納法による。証明に本質的なのは定理の次の特別な場合であり、これは を適用して証明できる： n が十分大きく r が奇数であれば、方程式

は「すべてが 0」ではない整数解 x1, . . . ,xn を持つ。

r が奇数という制限は必要である。なぜならば正定値二次形式のように偶数次形式では、原点でしか 0 の値を取らないことがあるからである。

参考文献

Category:ディオファントス方程式
Category:解析的整数論
Category:数論の定理
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