順像関手

数学の層論や代数幾何学の分野に現れる順像関手（じゅんぞうかんしゅ、）とは、層の切断の概念を相対的な場合へ一般化するものである。

 定義 

f: X → Y をある位相空間の連続写像とし、Sh(–) をある位相空間上のアーベル群の層の圏とする。次の順像関手

は、X 上の層 F をその順像前層（direct image presheaf）

に送る。この前層は Y 上の層であることが分かる。この割り当ては関手的なものである。すなわち、X 上の層の射 φ: F → G は Y 上の層の射 f∗(φ): f∗(F) → f∗(G) を導く。

 例 

Y が点であるなら、順像関手はと等しくなる。f: X → Y をある位相空間での連続写像あるいはスキームの射とする。このとき例外逆像（exceptional inverse image）は関手 f!: D(Y) → D(X) である。

 応用 

同様の定義はエタール層のようなトポスの上の層に対しても適用できる。この場合、上述の原像 f−1(U) の代わりに Y についての U と X のが用いられる。

 高次順像 

順像関手は左完全（left exact）であるが、通常、右完全ではない。したがってその順像の右導来関手を考えることが出来る。それらは高次順像（higher direct images）と呼ばれ、Rq f∗ と表記される。

高次順像に対しても上述と同様の表現が存在することが分かる。すなわち、X 上のある層 F に対して Rq f∗(F) は前層

に対応する層となる。

 性質 

 順像関手は、の右随伴であり、このことは任意の連続な  およびそれぞれ X、Y 上の層である  に対して、自然同型

が存在することを意味する。

 f がある閉部分空間 X ⊂ Y の包含であるなら、f∗ は完全である。実際、この場合 f∗ は X 上の層と Y 上の層の間の同値性となり、それは X 上でサポートされる。この事実より、 の茎（stalk）は、 なら  で、そうでないならゼロとなる（この証明には Y 内での X のが用いられる）。

 関連項目 


 参考文献 
 , esp. section II.4

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