裾の重い分布

裾の重い分布あるいはヘヴィーテイルとは、確率分布の裾がガウス分布のように指数関数的には減衰せず、それよりも緩やかに減衰する分布の総称。
また類似の用語に、ファットテイル、裾の厚い分布、ロングテール、劣指数的 (subexponential) などがある。

定義
裾の重い分布(ヘヴィーテイル)
本記事冒頭部に日本語で記載されている定義を数学的に表すと以下のようになる。

確率変数 X の累積確率分布関数 F を



と書いたとき、以下を満たす確率分布は(右)裾の重い分布(ヘヴィーテイル)である。

ファットテール
裾の重い分布の中でも裾の分布がべき乗則にしたがって減衰する分布をファットテールと呼ぶことが多い。

ロングテール
確率変数 X がすべての t > 0 について以下を満たす確率分布はロングテールである。

これは累積確率分布関数を F として以下と同じである。

簡単にいえば、x → ∞ ではほとんど減衰しない裾を持つ分布である。

ヘヴィーテイル分布の例
片側ヘヴィーテイル
 パレート分布
 対数正規分布
 レヴィ分布
 形状パラメータが 1未満のワイブル分布
 :en:Burr distribution

 対数コーシー分布

両側ヘヴィーテイル
 コーシー分布
 正規分布を除いた安定分布 
 t分布
 skew lognormal cascade distribution  

 裾指数の推定 
最尤法(MLE)を用いて裾指数を推定することができる。代表的な裾指数の推定方法には次の推定法がある。
 Pickands tail-index 
 Hill tail-index 

ソフトウェア
 裾指数推定のためのC言語ツール

関連項目
ロングテール
べき乗則
極値分布

脚注

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