合成作用素

数学において、記号  との合成作用素（ごうせいさようそ、） とは、



という決まりによって定義される線型作用素のことを言う。ここで  は合成写像を意味する。圏論の用語を用いると、合成作用素とは、可測函数の空間上の引き戻しである。したがって引き戻しがの随伴となるのと同様に、合成作用素は転送作用素の随伴となる。すなわち合成作用素はである。

合成作用素の研究は AMS category 47B33 によりカバーされている。

 作用素論 
合成作用素の定義域は適当なバナッハ空間（これは、しばしば正則函数からなる）に取るのが普通である。例えば、ハーディ空間やベルグマン空間がそのような空間として挙げられる。合成作用素の研究における興味深い問題は、作用素のスペクトル性質が函数空間にどのように依存するか、という点に関するものが多い。またその他の問題として、 がコンパクトであるかあるいはトレースクラスであるか、というものがある。その答えは通常、函数  がある領域の境界上でどのように振る舞うか、という点に依存して変わる。

 応用 
数学において、合成作用素はしばしば、例えばやなどのシフト作用素の研究に現れる。シフト作用素は一次元スピン格子として研究できる。合成作用素はまたの理論にも現れる。

合成作用素の固有方程式はシュレーダーの方程式であり、その主固有函数 f(x) はしばしばシュレーダー函数やと呼ばれる。

物理学の、特に力学系の分野において、合成作用素はしばしば、数学者の名にちなんで、コープマン作用素（Koopman operator）と呼ばれるB.O. Koopman, "Hamiltonian systems and transformations in Hilbert space", (1931) Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA, 17, pp.315-318.Pierre Gaspard, Chaos, scattering and statistical mechanics, (1998) Cambridge University Press。この作用素はフロベニウス＝ペロン作用素あるいは転送作用素の左随伴である。

 関連項目 
 乗算作用素

 カーレマン行列

 参考文献 

 C. C. Cowen and B. D. MacCluer, Composition operators on spaces of analytic functions. Studies in Advanced Mathematics. CRC Press, Boca Raton, FL, 1995. xii+388 pp. ISBN 0-8493-8492-3.
 J. H. Shapiro,  Composition operators and classical function theory. Universitext: Tracts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1993. xvi+223 pp. ISBN 0-387-94067-7.

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 関連文献 
  薄良彦: 「クープマン解析：クープマン作用素による非線形ダイナミクスの解析と制御」、森北出版、ISBN 978-4-627-09731-5 (2025年8月)。