Sum-free set

(additive combinatorics)や(additive number theory)では、アーベル群 G の部分集合 A が、sum-free とは、sumset  が A と互いに素であるときを言う。言い換えると、A が sum-free 集合とは、式  が  では解を持たない場合を言う。

例えば、奇数全体からなる集合は、整数全体からなる集合の sum-free（部分）集合であり、N が偶数のとき、集合 は、集合 の大きな sum-free 部分集合となる。フェルマーの最終定理は、 のときに、 を除く全ての整数の n 乗からなる集合は、整数の sum-free 部分集合であることと言うことと同じである。

sum-free（部分）集合についてのいくつかの基本的疑問は、下記のような疑問がある。

 整数  に対して、 の sum-free 部分集合はどれくらい存在するのか？ベン・グリーン (Ben Green) は、Ben Green, The Cameron–Erdős conjecture, Bulletin of the London Mathematical Society 36 (2004) pp.769-778 で、(Cameron–Erdős conjecture)の予想のとおり  であることを示したP.J. Cameron and P. Erdős, On the number of sets of integers with various properties, Number theory (Banff, 1988), de Gruyter, Berlin 1990, pp.61-79。（スローンの  も参考。）
 アーベル群 G はどれくらい sum-free（部分）集合をもっているのか？Ben Green and Imre Ruzsa, Sum-free sets in abelian groups, 2005. 
 アーベル群 G の持つ sum-free で最も大きな（部分）集合のサイズはいくつか？

sum-free（部分）集合が極大とは他のsum-free（部分）集合の真部分集合ではないものを言う。

 参考文献 

Category:加法的組み合わせ論
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