曲率形式

微分幾何学では、曲率形式(curvature form)は、主バンドル上の接続形式の曲率を記述する。リーマン幾何学では、曲率形式は、リーマン曲率テンソルの代行物か一般化と考えることができる。

定義

G をリー代数  をもつリー群とし、P → B を主 G-バンドルとする。P 上のエーレスマン接続(Ehresmann connection)を ω とする。（エーレスマン接続は、P 上の  に値を持つ 1-形式である。）

すると、曲率形式は P 上の  に値を持つ 2-形式であり、

により定義される。

ここで、 は外微分を表し、 は  により定義され、D は(exterior covariant derivative)である。別な表現をすると、

である。

ベクトルバンドルの曲率形式
E → B をベクトルバンドルとすると、ω を 1-形式の行列とも考えることができるので、上の式は構造方程式

となる。ここに  はウェッジ積とする。さらに詳しくは、 と  で、それぞれ ω と Ω の成分を表すとすると（各々の  は通常の 1-形式で、各々の  は通常の 2-形式である）、

となる。

例えば、リーマン多様体の接バンドルに対して、構造群は O(n) であり、Ω は O(n) のリー代数に値をもつ 2-形式であり、反対称行列である。この場合には、曲率形式 Ω は曲率テンソルで記述すると、

となる。

ビアンキ恒等式

 が標構バンドル上のベクトルに値を持つ標準 1-形式であれば、接続形式  のトーション  は、ベクトルに値を持つ 2-形式で、次の構造方程式によって定義される。

ここに、上記のように、D は(exterior covariant derivative)である。

第一ビアンキ恒等式は、

であり、第二ビアンキ恒等式は、

で、より一般的な主バンドルのに任意の接続に対して有効である。

参考文献
 Shoshichi Kobayashi and Katsumi Nomizu (1963) Foundations of Differential Geometry, Vol.I, Chapter 2.5 Curvature form and structure equation, p 75, Wiley Interscience.

関連項目

接続 (主バンドル)

チャーン・サイモンズ形式

ゲージ理論

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