対移動平均比率法

対移動平均比率法（たいいどうへいきんひりつほう、）は，過去の時系列データから，将来の数値を予測する方法の一つ。需要予測などに用いる。季節変動や曜日変動などの周期性がある場合に有効である。移動平均法の一種であり、比較的単純な方法であるが、実用的な結果を出すことが多い。竹安数博らが1997年に発表した佃純誠, 竹安数博, 村松健児『新しい経営工学』中央経済社, 1997, pp. 194-197。ISBN 978-4502408854.。

 原理 
まず、過去のデータから各季節ごとの季節指数を求める。次に、傾向を延長し、それに季節指数を掛けて予測値を得る。

需要などの変動は、傾向変動、循環変動、季節変動、不規則変動などに分解される。

対移動平均比率法では、時系列データ A を傾向変動 (F) と季節変動 (E) の積として捉える。1周期分（例えば1年分）のデータの平均値は、季節変動を除去した値になる。平均値を取る範囲をずらしていくと滑らかな系列（移動平均）B が得られる。そして、原データ A の平均値 B に対する比（対移動平均比率）C を季節ごとに平均した値（季節別平均値）D を正規化して、季節ごとの係数である季節指数 E を知る。

元の時系列データ A を季節指数 E で割れば、季節変動を取り除いた滑らかな系列 F が得られる（F には循環変動と不規則変動だけが残っている）。これを回帰分析して、傾向変動（トレンド）とする（傾向推定）。将来を予測するときは、まず回帰式によって傾向値 F を延長して将来の傾向値 f を推測（外挿）し、次に各季節の季節指数 E を掛けて予測値を得る。

「季節変動」は、必ずしも1年を周期とする季節に限らず、1週を周期とする曜日（曜日変動）でもよい。（竹安ら竹安数博、樋口友紀「データ予測装置、データ予測プログラム」j-platpat, 公開日：2006年12月07日（公開番号：2006331312号）。は、これらを総括して「期間変動」と呼んでいる。そのとき、季節指数を「期間指数」と呼ぶ。）循環の周期が一定している変動ならば、この方法が適用できる。

 手法 
ここでは、1年を周期とする「季節変動」をもつ春・夏・秋・冬ごとの季節データを想定して、手法の用語を記述する。過去の数周期分のデータがあるとする。
 周期性をもつ時系列の原データ A から、1周期分の移動平均の系列 B を計算する。
 各季節データ A の移動平均 B に対する比率（対移動平均比率）C を計算する。
 各季節ごとに対移動平均比率 C の平均値（季節別平均値）D を計算する。
 季節別平均値 D を D 全体の平均値で割って、各季節の季節指数 E を得る。季節指数 E の平均値は、常に 1 になる。
証明： 季節別平均値を d1, d2, …, dn とし，それらの平均値を μ とする。d1/μ, d2/μ, …, dn/μ の平均値は、(d1/μ + d2/μ + … + dn/μ)/n = (1/μ)(d1 + d2 + … + dn)/n = (1/μ)μ = 1 である。
 原データ A を季節指数 E で割り、滑らかな傾向値 F を得る。
 過去の傾向値 F を（最小二乗法によって）回帰分析する。
 将来の傾向値 f を（回帰式によって）推測する。
 将来の推測値 f に季節ごとの季節指数 E を掛けた予測値を計算する。

実は、1周期内のデータ数（春・夏・秋・冬の場合は 4）が偶数の場合は移動平均の計算に少し工夫が必要であり、その手法は下の 3.2（#周期が偶数である場合）に示す。

 数値例 
まず、1周期内のデータ数が奇数である場合の数値例によって、手法の主要部分の実際を示す。

 周期が奇数である場合 
thumb=Moving_average_ratio-2.gif|right|過去3週間分の日々のデータから、次の1週間分を予測している。
1週を周期とする曜日変動のある場合の計算例とそのグラフを示す。過去の3周期分（先々週から今週まで）の日ごとのデータから、来週1週間分を予測する。

表の下にある段階 6. 傾向の推定 では、傾向値を推定する何らかの手法を用いる。ここでは、直線による回帰分析をしている。

+ 曜日による変動がある場合の例 段階  週  月  火  水  木  金  土  日  平均 0. 原系列 A 先々週  126  87  149  127  246  276  288 先週  138  91  160  139  274  297  309 今週  147  101  174  147  289  328  341 1. 移動平均 B 先々週  --  --  --  185.6   187.3   187.9   189.4 先週  191.1   195.1   198.1   201.1   202.4   203.9   205.9 今週  207.0   209.1   213.6   218.1   --  --  -- 2. 対移動平均　比率　　C = A/B 先々週  --  --  --  0.684   1.313   1.469   1.521 先週  0.722   0.466   0.808   0.691   1.354   1.457   1.501 今週  0.710   0.483   0.815   0.674   --  --  -- 3. 曜日別平均値 D  0.716   0.475   0.811   0.683   1.334   1.463   1.511   0.999  4. 曜日指数 E  0.717   0.475   0.812   0.684   1.335   1.464   1.512   1.000  5. 傾向値　　F = A/E 先々週  175.8   183.1   183.5   185.7   184.3   188.5   190.5 先週  192.5   191.5   197.1   203.3   205.3   202.8   204.3 今週  205.1   212.5   214.3   215.0   216.5   224.0   225.5 7. 推測値 f 来週  225.2   227.5   229.8   232.0   234.3   236.6   238.9 8. 予測値 f ×E 来週  161.4   108.1   186.5   158.7   312.8   346.4   361.2

6. 傾向の推定 - 傾向値の系列 Fx から最小二乗法によって回帰直線 f = ax + b の係数を求めると、a = 2.29, b = 177.2 を得る。ここで、x はデータの番号とする (x = 0, 1, 2, ..., 20)。

7. 推測値 - 回帰直線 f = 2.29x + 177.2 を用いて、来週の傾向値データ fx を推測する (x = 21, 22, ..., 27)。

 周期が偶数である場合 
1周期内のデータ数が偶数である場合には、1. 移動平均 B を計算するときに少し工夫が要る。例えば、単純移動平均をさらに二つずつ平均する方法がある。こうすると移動平均の項数が1つ少なくなるが、各季節の前後のデータを対称かつ均等に扱った平均値が得られる。

+ 周期内のデータ数が偶数である場合の移動平均 段階  前々年  前年  今年 季節 春  夏  秋  冬  春'  夏'  秋'  冬'  春"  夏"  秋"  冬" 0. 原系列 A 126   87  246  288  138   91  274  309  147  101  289  341 4項の単純　移動平均   --  186.8   189.8   190.8   197.8   203.0   205.3   207.8   211.5   219.5   --   1. 2項ずつの　移動平均 B --  --  188.3   190.3   194.3   200.4   204.1   206.5   209.6   215.5   --  --

例えば、表の左下隅の値 188.3 は、前々年の春と前年の春'を平均した値と、夏，秋，冬の値との平均になっている。
 188.3 ＝ { 186.8 ＋ 189.8 } / 2
       ＝ { (春＋夏＋秋＋冬)/4 ＋ (夏＋秋＋冬＋春')/4 } / 2
       ＝ {  春    ＋  2×(夏＋秋＋冬)  ＋     春'}/4  / 2
       ＝ {  春/2  ＋      夏＋秋＋冬   ＋   春'/2}/4  …… 秋を中心として対称
       ＝ { (春＋春')/2 ＋夏＋秋＋冬 }/4

 歴史 
対移動平均比率法は、竹安数博が開発し、1997年に『新しい経営数学』で発表した。

竹安らは、2006年にこの手法に関しての特許を取得している。

 脚注 

 関連項目 
 傾向推定
 季節調整
 英語版 Seasonality - 節 3 Caluculation に 3.3 ratio-to-moving-average method が記述されている。

 外部リンク 
 特許: 竹安数博、樋口友紀「データ予測装置、データ予測プログラム」公開番号: 特開2006-331312, 公開日: 2006年12月07日。

Category:時系列分析
category:経営工学