クレインの条件

数学の解析学の分野におけるクレインの条件（クレインのじょうけん、）とは、指数関数の和

が実数直線上のある重み付き L2 空間において稠密であるための必要十分条件を与えるものである。マルク・クレインによって1940年に発見された。他にもクレインの条件と呼ばれるある系（corollary）があり、こちらはの不定性のための十分条件を与えるものである。

 内容 

μ を、実数直線上のある絶対連続な測度で、dμ(x) = f(x) dx が満たされるものとする。指数関数の和

が L2(μ) において稠密であるための必要十分条件は

が成立することである。

 モーメント問題の不定性 

μ を上述のように定められる測度とする。μ のすべてのモーメント

は有限であると仮定する。もし

が成立するなら、μ についてのは不定である。すなわち、R 上の別の測度 ν ≠ μ で

を満たすようなものが存在する。この事実は、上述のクレインの定理の必要性（only if）の部分より従う。

 例 

今

とする。このとき測度 dμ(x) = f(x) dx はスティルチェス＝ウィガート測度と呼ばれる。今

が成立するため、μ についてのハンバーガーのモーメント問題は不定である。

 参考文献 

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