セルバーグゼータ函数

セルバーグゼータ函数(Selberg zeta-function)は、アトル・セルバーグ により導入された。有名なリーマンゼータ函数

の類似で、ここに  は素数の集合を表す。セルバーグゼータ函数は、素数の代わりに単純な閉測地線の長さを使う。 を SL(2,R) の部分群とすると、セルバーグゼータ函数は次のように定義される。

あるいは、

ここに p は素な合同類全体を渡り、 N(p) は合同類 p のノルムで、p のより大きい固有値の二乗である。

有限領域を持つ双曲曲面に対して、セルバーグゼータ函数が付帯している。この函数は複素平面上の有理型函数である。このゼータ函数は、曲面上の閉じた測地線の言葉で定義される。

セルバーグゼータ函数 Z(s) のゼロ点と極は、曲面のスペクトルのデータの言葉で記述することができる。

ゼロ点は次のような点である。
 固有値  を持つ全てのカスプ形式に対し、点  にゼロ点を持つ。ゼロ点のオーダーは、対応する固有空間の次元に等しい。（カスプ形式とは、定数項がゼロのフーリエ展開を持つラプラス・ベルトラミ作用素の固有函数である。）
 ゼータ函数は散乱行列  の行列式の全ての極でゼロ点を持つ。ゼロ点のオーダーは、散乱行列の対応する極のオーダーに等しい。

ゼータ函数は、 で極をもち、点  で、極、もしくはゼロ点を持つ。

伊原のゼータ函数は、セルバーグゼータ函数の p-進類似（グラフ理論的な類似）と考えられている。

 モジュラ群のセルバーグゼータ函数 
 をモジュラ群として、曲面が  である場合には、セルバーグゼータ函数は、特に興味が持たれる。この特別な場合は、セルバーグゼータ函数が密接にリーマンゼータ函数と結びついているからである。

この場合は、散乱行列の行列式が次で与えられる。

特に、リーマンゼータ函数が  でゼロ点を持つと、散乱行列の行列式は  で極をもつので、セルバーグゼータ函数は  でゼロ点を持つ。

参考文献

 Iwaniec, H. Spectral methods of automorphic forms, American Mathematical Society, second edition, 2002.

 Venkov, A. B. Spectral theory of automorphic functions. Proc. Steklov. Inst. Math, 1982.
 Sunada, T., L-functions in geometry and some applications, Proc. Taniguchi Symp. 1985, "Curvature and Topology of Riemannian Manifolds", Springer Lect. Note in Math. 1201(1986), 266-284. 

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