モールの応力円

モールの応力円（モールのおうりょくえん、Mohr's stress circle）とは、物体内の応力状態を図示するときに現れる円である。名称はにちなむ。

 平面応力状態 
平面応力状態において座標を (x, y) とし、物体内にはたらく垂直応力がσx、σy、せん断応力がτであるとき、この座標系に対して角度φだけ傾いた断面にはたらく応力σ'、τ' は

で表される。これらの式を組み合わせると、次の式が得られる：

これはσ'-τ' 平面上で円の方程式になっており、これをモールの応力円という。

モールの応力円を用いれば、主応力σ1、σ2 は円とσ' 軸との交点でのσ' の値となり、主応力面の角度は円上の点 (σx, τ) と円の中心を結ぶ線分がσ' 軸となす角の半分で表され、図の上で求めることができる。

 3軸応力状態 
より一般的な3軸応力状態の場合、その主応力をσ1、σ2、σ3 とすると、応力円は
 2点 (σ1 , 0), (σ2 , 0) を結ぶ線分を直径とする円
 2点 (σ2 , 0), (σ3 , 0) を結ぶ線分を直径とする円
 2点 (σ1 , 0), (σ3 , 0) を結ぶ線分を直径とする円
の3つが描かれ、任意の断面の応力はこれらの円で囲まれた領域内の点で表される。

 例 
 純粋せん断 
平面応力状態で、せん断応力τのみを受ける場合のモールの応力円は、原点を中心とし、半径がτの円となる。したがって主応力はx軸と±π/4の角度をなす面で生じ、σ1, σ2 = ±τとなる。

 類似する概念 
モールの応力円と同様の図示法がある。
 モールのひずみ円
 モールの慣性円 - 断面2次モーメントを図示したもの

 脚注 

Category:構造力学
Category:円 (数学)
Category:固体力学
Category:弾性