スペクトル分解 (関数解析学)

数学の関数解析学の分野において、あるバナッハ空間 （関数解析学における基本概念の一つ）上の線型作用素  のスペクトルは、作用素  が  上に有界な逆作用素を持たないようなすべてのスカラー  で構成される。そのようなスペクトルは、通常以下の三つの部分に分解（ぶんかい、）される：
 点スペクトル（point spectrum）： の固有値で構成される。
 連続スペクトル（continuous spectrum）：固有値ではないが、 の値域を空間内の稠密な真部分集合にするようなスカラーで構成される。
 剰余スペクトル（residual spectrum）：固有値ではないが、 の値域が空間内で稠密でないようなスカラーで構成される。

この分解は微分方程式の研究や、理学・工学の多分野において応用される。例えば量子力学では、励起状態にある水素原子によって放射される光のと連続帯を説明するために、この概念が用いられる。

 有限次元の場合との対比 
線型代数学において扱われる有限次元ベクトル空間（行列など）上の作用素においては、スペクトル分解の概念は非常に単純である。有限次元空間上の線型作用素  について、 が可逆でないことと、 が固有値であること（すなわち  を満たす非ゼロベクトル  が存在すること）は同値である。したがって、有限次元ではスペクトルはすべて点スペクトルであり、連続スペクトルと剰余スペクトルは常に空集合である。

しかし、関数空間などの無限次元空間においては、 が単射（固有値を持たない）であっても全射ではない（逆写像が定義できない、あるいは有界でない）という状況が発生しうる。そのため、固有値の概念だけでは作用素の特異性を完全に記述できず、連続スペクトルや剰余スペクトルといった分類が必要となる。

 定義 
 バナッハ空間上の有界作用素に対して 

X をバナッハ空間とし、L(X) を X 上の有界作用素の族とし、T ∈ L(X) とする。スペクトルの定義に従うと、ある複素数 λ が T のスペクトル σ(T) に含まれるとは、T − λ が L(X) 内に逆作用素を持たないことを言う。

T − λ が全単射であるなら、その逆作用素は有界である。この事実は、関数解析学の開写像定理より直接的に導かれる。
T のスペクトルに含まれない複素数 λ の集合を、T のレゾルベント集合（resolvent set）と呼び、ρ(T) で表す。すなわち、ρ(T) = C \ σ(T) である。λ ∈ ρ(T) に対し、有界線型作用素 R(λ, T) = (T − λ)−1 を、T のレゾルベント（resolvent）と呼ぶ。

したがって、λ が T のスペクトルに含まれるための必要十分条件は、T − λ が全単射でない（単射あるいは全射のいずれかでない）こととなる。逆作用素が存在しない理由により、スペクトルは次の三つのケースに分類される：

 T − λ が単射でない場合。すなわち、X 内の二つの異なる元 x、y で (T − λ)(x) = (T − λ)(y) を満たすようなものが存在する場合。このとき、z = x − y は T(z) = λz を満たす非ゼロのベクトルとなる。言い換えると、λ は線型代数学の文脈における T の固有値となる。この場合、λ は T の点スペクトルと呼ばれ、σp(T) と表される。
 T − λ が単射で、その値域  R が X の稠密な部分集合であるが、X 全体ではない場合。すなわち、X 内のある元 x で、それに (T − λ)(y) を X 内の y を選ぶことでいくらでも近付けることが出来るが、一致させることは出来ない場合。この場合、T − λ は下に有界でない（すなわち、 ||y||=1 なる y で ||(T − λ)(y)|| がいくらでも小さいものが存在する）ことが証明される。また同様に、稠密な部分集合 R 上で定義される線型逆作用素 (T − λ)−1 は有界作用素でなく、したがって X 全体に拡張することが出来ない。このとき、λ は T の連続スペクトル σc(T) に含まれると言われる。
 T − λ が単射であるが、稠密な値域を持たない場合。すなわち、X 内のある元 x とその近傍 N で (T − λ)(y) が N に含まれないようなものが存在する場合。このとき、作用素 (T − λ) x → x は有界あるいは非有界であるが、どのような場合でも X 全体の上への有界線型写像への一意的な拡張は存在しない。この場合の λ は T の剰余スペクトル σr(T) に含まれると言われる。

以上より、σ(T) は三つの集合の直和

で与えられることが分かる。

 T − λ の全射性  T − λ の単射性 単射で下に有界  単射だが下に有界でない  単射でない 全射 レゾルベント集合 ρ(T)  存在せず  点スペクトル σp(T) 全射でないが値域が稠密 存在せず  連続スペクトル σc(T) 値域が稠密でない 剰余スペクトル σr(T)

 スペクトルの基本的性質 
バナッハ空間上の有界線型作用素 T のスペクトル σ(T) について、以下の性質が成り立つ。

 σ(T) は、複素平面 C におけるコンパクトな（閉かつ有界な）部分集合である。
 σ(T) は、空集合ではない（非空性）。
 σ(T) の要素の絶対値の最大値  を、T のスペクトル半径（spectral radius）と呼ぶ。スペクトル半径は、以下の極限（ゲルファントの公式）によって与えられる：

 コンパクト作用素 

有界作用素の中でも、コンパクト作用素は有限次元の行列に近い性質を持ち、そのスペクトル分解は単純な形になる。無限次元バナッハ空間上のコンパクト作用素  について、以下が成立する。
 非ゼロのスペクトルは、すべて点スペクトル（固有値）である。すなわち、。
 連続スペクトル  および剰余スペクトル  に含まれる可能性があるのは  のみである。
 スペクトル（固有値）の集積点は  のみである。

したがって、コンパクト作用素の研究においては、複雑な連続・剰余スペクトルの解析を必要とせず、固有値解析が中心となる。

 その他の分類 
上述の三つの分類（点・連続・剰余）に加え、作用素の性質をより詳細に記述するために以下の概念も用いられる。

近似点スペクトル（approximate point spectrum）：T − λ が下に有界でないような λ の集合。記号 σap(T) で表される。これは、||(T − λ)xn|| → 0 かつ ||xn|| = 1 を満たすようなベクトル列 {xn}（ワイル列と呼ばれる）が存在することを意味する。点スペクトルと連続スペクトルは近似点スペクトルに含まれる。
圧縮スペクトル（compression spectrum）：T − λ の値域が X において稠密でないような λ の集合。記号 σcp(T) で表される。定義より、剰余スペクトルは圧縮スペクトルに含まれる。

 双対作用素のスペクトル 

X* を X の双対空間とし、T* : X* → X* を T の共役作用素とするとき、σ(T) = σ(T*) が成立する。

定理 有界作用素 T に対して、T の圧縮スペクトルは T* の点スペクトルに一致する。すなわち、σcp(T) = σp(T*) が成立する。

したがって、スペクトルの分解との関係においては、σr(T) ⊂ σp(T*) および σp(T*) ⊂ σr(T) ∪ σp(T) が成り立つ。

証明 
X* 内の元（有界線型汎函数）φ の x ∈ X に対する作用を <x, φ> と表す。
ある λ が σcp(T) に含まれるとする。定義により Ran(T − λ) は X で稠密ではない。ハーン-バナッハの定理より、Ran(T − λ) 上で消失する（すなわち 0 になる）ような非ゼロの汎函数 φ ∈ X* が存在する。このとき、すべての x ∈ X に対して、

が成立する。これは (T* - λ)φ = 0 を意味し、φ ≠ 0 であるから λ は T* の固有値である（λ ∈ σp(T*)）。

逆に、λ ∈ σp(T*) とする。このとき、(T* - λ)φ = 0 を満たす非ゼロの φ ∈ X* が存在する。すべての x ∈ X に対して、

となるため、φ は Ran(T − λ) 上で消失する。もし Ran(T − λ) が稠密であるなら、連続性により φ は X 全体で 0 でなければならず、矛盾する。したがって値域は稠密ではなく、λ ∈ σcp(T) である。

特に、X が回帰的バナッハ空間であるときは、σr(T*) ⊂ σp(T**) = σp(T) が成立する。

 非有界作用素に対して 
有界の場合と全く同様の方法で、非有界作用素のスペクトルは三つの部分に分けることが出来る。

 例 

 乗算作用素 

ある σ-有限測度空間 (S, Σ, μ) が与えられたとき、バナッハ空間Lp(μ)を考える。ある関数 h: S → C が本質的に有界であるとは、h が μ に関してほとんど至る所で有界であることを言う。本質的に有界な h は、Lp(μ) 上の次の有界な乗算作用素 Th を導く：

T の作用素ノルムは h の本質的上限である。h の本質的値域は、次の方法で定義される：ある複素数 λ が h の本質的値域に含まれるとは、すべての ε > 0 に対して開球 Bε(λ) の h の下での原像が、厳密に正の測度を持つときを言う。はじめに σ(Th) が h の本質的値域に一致することを示し、その後その様々な部分について調べる。

λ が h の本質的値域に含まれないなら、h−1(Bε(λ)) が測度ゼロを持つように ε > 0 を選ぶことが出来る。このとき函数 g(s) = 1/(h(s) − λ) はほとんど至る所で 1/ε によって評価されている。このとき乗算作用素 Tg は Tg · Th − λ = Th − λ · Tg = I を満たす。したがって、λ は Th のスペクトルには含まれない。一方、λ が h の本質的値域に含まれるなら、集合の列 {Sn = 
h−1(B1/n(λ))} を考える。この各 Sn は正の測度を持つ。fn を Sn の特性函数とすれば、直接的な計算により

が得られる。このことから、Th − λ は下に有界ではなく、したがって可逆でないことが分かる。

λ を μ( h−1({λ})) > 0 が成立するようなものとするなら、λ は Th の点スペクトルに含まれる。すなわち、その本質的値域から λ だけを含むようなある開球 Bε(λ) を選ぶことが出来る。f を h−1(Bε(λ)) の特性函数とすると、

が成立する。正の測度の原像を持たないような h の本質的値域に含まれる任意の λ は、Th の連続スペクトルに含まれる。このことを示すことは、Th − λ がそのような全ての λ に対して稠密な値域を持つことを示すことに等しい。与えられた f ∈ Lp(μ) に対して、再び集合の列 {Sn = h−1(B1/n(λ))} を考える。gn を S − Sn の特性函数とする。次を定義する。

直接的な計算により fn ∈ Lp(μ) が分かり、優収束定理から、

が Lp(μ) ノルムにおいて成立することが分かる。

したがって、乗算作用素は剰余スペクトルを持たないことが示された。スペクトル定理によれば、ヒルベルト空間上の任意の正規作用素は乗算作用素とユニタリ同値である。このことから、正規作用素もまた剰余スペクトルを持たないことが結論付けられる。

 シフト作用素 
自然数の集合上の数え上げ測度に対する Lp 空間、すなわち数列空間 lp (1 ≤ p < ∞) を考える。

左シフト作用素
左シフト作用素 T : lp → lp を次で定義する：

|λ| < 1 を満たす複素数 λ に対して、ベクトル  は lp に属し、T xλ = λ xλ を満たす。したがって、開単位円板 {λ : |λ| < 1} は T の点スペクトル σp(T) に含まれる。
有界作用素のスペクトルは閉集合であるため、単位円周 {λ : |λ| = 1} も σ(T) に含まれる。
|λ| = 1 の場合、Tx = λx を満たす非ゼロベクトルは  の形に限られるが、これは lp に属さない。したがって単位円周上の点は固有値ではない。
後述の双対作用素との関係を用いると、T の剰余スペクトル σr(T) は空集合であり、単位円周は連続スペクトル σc(T) となることが示される。

右シフト作用素
T の共役作用素 T* は、双対空間 lq (1/p + 1/q = 1) 上の右シフト作用素となる：

T* は等長作用素（||T*x|| = ||x||）であるため、固有値を持たない。すなわち σp(T*) は空集合である。
前節の定理（σcp(T) = σp(T*)）より、T の圧縮スペクトルは空集合である。剰余スペクトルは圧縮スペクトルに含まれるため、これにより σr(T) = ∅ が確認される。

一方、T* のスペクトル分類については以下のように導かれる。
 σp(T)（開単位円板）は σcp(T*) = σp(T**) = σp(T) に一致する（p > 1 で空間が回帰的な場合）。T* には固有値がないため、開単位円板はすべて T* の剰余スペクトル σr(T*) に分類される。
 単位円周上の点は、T と同様に連続スペクトル σc(T*) となる。

まとめると以下のようになる（1 < p < ∞ の場合）。
 領域  左シフト T  右シフト T* |λ| < 1 点スペクトル σp  剰余スペクトル σr |λ| = 1 連続スペクトル σc  連続スペクトル σcp = 1 の場合も同様の解析が可能だが、回帰性が成立しないため双対性の議論には注意を要する。

 ヒルベルト空間上の自己共役作用素 

ヒルベルト空間はバナッハ空間であり、したがって上述の定理はヒルベルト空間上の有界作用素に対しても同様に適用することが出来る。しかし各作用素の共役作用素に関して、差異が生じる可能性がある。例えば、H をヒルベルト空間とし、T ∈ L(H) とすれば、σ(T*) は σ(T) と一致はしないが、その像は複素共役の下にある。

自己共役作用素 T ∈ L(H) に対して、は、スペクトルを自然に分解する方法を提供するものである。

 ボレル汎函数計算 

この小節ではこの種の計算の発展について簡単に説明する。初めに連続汎函数計算を構築し、リース＝マルコフの表現定理を介して可測函数へと移すということが、アイデアである。連続汎函数計算に対し、キーとなる事実を次に述べる。

1. T が自己共役であるなら、任意の多項式 P の作用素ノルムは

で与えられる。

2. ストーン＝ワイエルシュトラスの定理により、複素数を係数に持つ多項式の族は C(σ(T)) において稠密で、σ(T) 上の連続函数であることが分かる。

族 C(σ(T)) は、一様ノルムが与えられたとき、バナッハ環となる。したがって写像

は C(σ(T)) の稠密な部分集合から L(H) への等長準同型である。その写像を連続性により拡張することで f ∈ C(σ(T)) に対して f(T) が与えられる。すなわち、Pn を Pn → f が一様に成立するような多項式とし、f(T) = lim  Pn(T) を定義する。これが連続汎函数計算である。

ある固定された h ∈ H に対して、

が C(σ(T)) 上の正の線型汎函数であることに注意されたい。リース＝マルコフの表現定理によれば、σ(T) 上の測度 μh で

を満たすようなものが唯一つ存在する。この測度はしばしば、h に関するスペクトル測度（spectral measure associated to h）と呼ばれる。このスペクトル測度は、連続汎函数計算を有界ボレル函数へ拡張するために用いることが出来る。ボレル可測であるような有界函数 g と、g(T) に対して

を定義する。偏極恒等式を介して（H が複素と仮定されているので）、

を求めることが出来、したがって任意の h に対して g(T) h が得られる。

この文脈において、測度論の結果と結び付けられるスペクトル測度が、σ(T) の分解を与えることが分かる。

 スペクトルの分解 h ∈ H とし、それに対応する σ(T) ⊂ R 上のスペクトル測度を μh とする。ルベーグの分解定理を応用することで、μh は以下の三つの互いに特異的な部分に分解される：

ここで μac はルベーグ測度に関して絶対連続であり、μsc はルベーグ測度に関して特異的であり、μpp は純粋な点測度である。

これら三種類の測度はすべて線型作用の下で不変である。Hac を、スペクトル測度がルベーグ測度に関して絶対連続であるようなベクトルからなる部分空間とする。同様に Hpp と Hsc も定義する。これらの部分空間は T の下で不変である。例えば、h ∈ Hac および k = T h であるなら、χ を σ(T) 内のあるボレル集合の特性関数とすれば、

が成立する。したがって

であり、k ∈ Hac が成立する。さらに、スペクトル定理を適用することで

が得られる。これは次の定義につながる：

 Hac に制限された T のスペクトルは、T の絶対連続スペクトル（absolutely continuous spectrum）と呼ばれ、σac(T) と表記される。
 Hsc に制限された T のスペクトルは、T の特異スペクトル（singular spectrum）と呼ばれ、σsc(T) と表記される。
 T の固有値の集合は T の純点スペクトル（pure point spectrum）と呼ばれ、σpp(T) と表記される。T の固有値の閉包は、Hpp に制限された T のスペクトルである。したがって

が成立する。

 二つの「連続スペクトル」の比較 

本記事では、バナッハ空間上の一般的な作用素に対するスペクトル分解（点・連続・剰余）と、ヒルベルト空間上の自己共役作用素に対する測度論的なスペクトル分解（純点・絶対連続・特異）の二つを扱った。これらは異なる観点からの分類であり、「連続スペクトル」という用語が異なる意味で用いられるため注意が必要である。

 バナッハ空間論的な分類における連続スペクトル  は、 が単射かつ値域が稠密（だが全射でない）となる  の集合である。
 測度論的な分類における絶対連続スペクトル  と特異スペクトル  は、どちらもバナッハ空間論的な意味では（固有値を含まない限り）連続スペクトル  に含まれる。

自己共役作用素の場合、剰余スペクトル  は常に空集合である。したがって、スペクトルは点スペクトル（固有値）と連続スペクトル（それ以外）の和集合となる。測度論的分解は、この「連続スペクトル」の部分を、さらにスペクトル測度の性質（ルベーグ測度に対して絶対連続か特異か）によって細分化したものと解釈できる。

なお、 のように、ある点が測度論的な意味で複数の成分に属することはあり得る。このような  は、連続スペクトルの中に「埋め込まれた固有値 (embedded eigenvalue)」と呼ばれる。

 物理学 

上述の議論は、非有界な自己共役作用素に対しても拡張できる。なぜならば、局所コンパクトハウスドルフ空間に対してもリース＝マルコフの表現定理は成立するからである。

量子力学において、オブサーバブルは必ずしも有界ではない自己共役作用素で、それらのスペクトルは得られうる測定値である。物理学的なオブザーバブルの絶対連続スペクトルは、系の自由状態（散乱状態）に対応し、純点スペクトルは束縛状態に対応する。純連続スペクトルを持つような量子力学的オブザーバブルの例に、直線上を動く自由粒子の位置演算子が挙げられる。そのスペクトルは、実数直線全体である。また、運動量演算子はフーリエ変換を介して位置演算子とユニタリ同値であるため、それらのスペクトルは等しい。

スペクトルの離散性（純点スペクトル）は、波動関数の空間的な局在と関連して論じられる。数学的には、 に属する関数であっても、無限遠方で 0 に収束するとは限らない（例えば、幅が急速に狭くなる高いスパイクを持つ関数などは  ノルムが有限でも局所的に発散しうる）。しかし、多くの物理系においては、固有関数はアンダーソン局在に見られるように、遠方で指数関数的に減衰することが示される。

物理学の量子力学的計算を行う際、L2(R) に属さない「固有ベクトル」に遭遇することがしばしばある。すなわち、局在化されない波動函数である。それらは系の自由状態である。上述のように、数学的定式化においては、自由状態は絶対連続スペクトルに対応する。もし固有ベクトルと固有関数の概念が厳密に保たれるものであると主張するのであれば、上の作用素を考えることが出来る。

かつて特異連続スペクトルは、物理的な意味を持たない数学上の例外的な事例と見なされることもあった。しかしその後、概マシュー作用素（ハーパー作用素）やランダムシュレディンガー作用素によって記述される系など、準周期ポテンシャルを持つ物理モデルにおいて特異連続スペクトルが自然に現れることが明らかになっている。

 関連項目 

 本質的スペクトル：コンパクトな摂動を法とする作用素のスペクトル

 参考文献 

 N. Dunford and J.T. Schwartz, Linear Operators, Part I: General Theory, Interscience, 1958.

 M. Reed and B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics I: Functional Analysis'', Academic Press, 1972.

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